¿La función logística satisface realmente único este?

Question

Se dice que la función logística (denota $y(u)$ abajo) se deriva de la relación:

$$\frac{dy}{du}=y(u)(1-y(u))$$

¿Hace $y(u)=\frac{1}{1+e^{-u}}$ realmente únicamente satisfacer esto? No veo cómo. Me parece que debe haber varias funciones satisfacer. Por favor me ayude a ver la luz.

Si se me permite una pregunta complementaria:

Lo que tengo que hacerlo a la primera ecuación así

$$y(u)=\frac{1}{1+u^{-2}}$$

¿satsifies?

Gracias

Answer 1

No, $\frac{1}{1 + e^{-u}}$ no es la única función que satisface la ecuación. Lo mismo sucedería con cualquier $y$ de la forma $y(u) = \frac{1}{1 + C e^{-u}}$ para cualquier número real fijo $C$, y $y$ dado por la fórmula $y(u) = 0$. (Estas funciones que he enumerado son, sin embargo, tan lejos como funciones diferenciables definidas en todos los de $\mathbb{R}$ ir; no hay otros). Voy a dar un enlace sobre cómo llegar a este resultado en un párrafo o dos.

La función de $\frac{1}{1 + e^{-u}}$ puede ser la única función de la satisfacción de la ecuación diferencial y algunos condición inicial de interés para la persona que la afirmación de la singularidad. Si usted está recibiendo la singularidad afirmación de un profesor o del libro de texto, es probable que tengan eso en mente, incluso si se olvidaron de decir.

No hay un método general para resolver ecuaciones como estos, pero es mejor aprender de un libro de texto. Las páginas de Wikipedia sobre separables ecuaciones diferenciales y de separación de variables son un comienzo--- pero mejor estaría buscando "separables ecuaciones diferenciales" en el índice de la más cercana de cálculo o ecuaciones diferenciales libro. Wikipedia (y de Internet en general, para el material básico como este) se preocupa más de los métodos para la escritura de fórmulas que resolver una ecuación diferencial, de demostrar que las fórmulas producidas por el método son las únicas soluciones a la ecuación diferencial.

No estoy seguro de lo que tu segunda pregunta, precisamente, es: no hay nada que usted puede "hacer" a la ecuación original para lograr que tenga que otra solución, más allá de cambiar la ecuación en su totalidad. Así que en realidad usted está pidiendo, lo que la ecuación diferencial que podría tener esta otra función como una solución.

En general, "dada una función, hallar una ecuación diferencial satisfechos por ello" no es tan interesante de un problema (a menos que usted está buscando para ecuaciones diferenciales dentro de algunos específicos de la clase restringida, o tienen otros objetivos más concretos en la mente). Vamos a ver por qué. Si $y(1 + u^{-2}) = 1$, entonces la diferenciación de ambos lados con respecto a $u$ y el uso de la regla del producto encontrará que $y(-2 u^{-3}) + y'(1 + u^{-2}) = 0$. Esta ecuación diferencial y está satisfecho por la función original de $y$ (y otras funciones). Así que es eso.

Tal vez esta ecuación no es lo que quieres porque explícitamente la variable $u$. Pero se puede probar que no existe ninguna ecuación diferencial de la forma $y'(u) = F(y(u))$ satisfecho por la función $y(u) = \frac{1}{1 + u^{-2}}$.

Para ver esto, supongamos que hay.

Desde $y(1) = y(-1) = \frac{1}{2}$ (sólo calcular utilizando la fórmula para $y(u)$) concluiríamos poniendo en $u = 1$ $u = -1$ en la ecuación de $y'(u) = F(y(u))$ que $y'(1) = F(\frac{1}{2})$ y $y'(-1) = F(\frac{1}{2})$ y que, por ende,$y'(1) = y'(-1)$. Pero se puede calcular (el uso de la fórmula para $y(u)$ encontrar una fórmula para $y'(u)$, y, a continuación, poner en $1$ $-1$ $y'(1)$ $y'(-1)$ no son iguales. Así que no hay tal $F$ puede existir.