Encontrar la derivada de la norma

Question

Considerar la función de espacio de Hilbert a los números reales. $F(x)=| Ax|$. Mi pregunta cómo encontrar es derivado $F'(x)$.

Answer 1

Supongo que $A$ es un delimitada operador lineal sobre un espacio de Hilbert $X$, y queremos calcular Frechet derivados. Consideremos dos funciones $$ G:X\to\mathbb{R}: x\mapsto\Vert x\Vert=\sqrt{\langle x,x\rangle} $$ $$ H:X\to X:x\mapsto Una(x) $$ Uno puede mostrar que $G'(x)(h)=\frac{\langle x, h\rangle}{\Vert x \Vert}$ ( $x=0$ , esto derivado de que no existe) y $H'(x)(h)=A(h)$ donde $h\in X$. Entonces $$ F'(x)(h)=(G(H(x)))'(h)=(G'(H(x))\circ H'(x))(h)=G'(H(x)) H'(x)(h))= $$ $$ G'(H(x))(A(h))=\frac{\langle Una(x), A(h)\rangle}{\Vert Ax\Vert} $$