En qué cuadrante está el % de número complejo $z?$

Question

Problema: Para un número $z\in\mathbb{C},$ se aplican las siguientes condiciones:

1. $z+\bar{z}>0.$

2. $iz+\bar{iz}<0.$

Determinar en qué cuadrante $z$ mentiras.

Intento: yo simplemente sustituidos $z=a+bi, \quad a,b>0$ y calculadas ambas condiciones.

1. $$a+bi+a+bi=a+a+bi-bi=2a>0.$$
2. $$i(a+bi)+\overline{i(a+bi)}=-b+ai+\overline{(-b+ai)}=-b+ai-b-ai=-2b<0.$$

Desde estas 2 condiciones se satisfacen, cuando los números reales $a,b>0$, significa que $z$ tiene que existir en el primer cuadrante. Es mi razonamiento correcto? Cualquier otro método o mejora?

Answer 1

La respuesta es muy simple cuando te das cuenta de que

$$\arg Z=\frac{1}{2i}\ln\frac{Z}{Z^*}$$

Así, para el primer caso, con $Z=z+z^*$ obtenemos

$$\arg Z=\frac{1}{2i}\ln\frac{z+z^*}{z^*+z}=\frac{1}{2i}\ln(1)=0$$

y el resultado se encuentra en el positivo $x$-eje (así que supongo que tendría que decir el $1^{st}$ cuadrante).

Del mismo modo, para el segundo caso, con $Z=iz+iz^*$ obtenemos

$$\arg Z=\frac{1}{2i}\ln\frac{iz+iz^*}{-iz^*-iz}=\frac{1}{2i}\ln(-1)=\frac{2\pi i}{2i}=\pi$$

y el resultado se encuentra en la negativa$x$-eje (así que supongo que tendría que decir el $2^{nd}$ o $3^{rd}$ cuadrante).

Aviso que yo no tenga que hacer ningún recurso a la forma Cartesiana $z=a+ib~$ o de la polar de la forma $z=re^{i\theta}$.