¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para un supremum a un punto límite?

Question

Una pregunta similar en espíritu ya ha sido pedido aquí, pero fue erróneamente aceptado.

Considere el caso en $A = \{0, 1, 2\} \subset \mathbb{R}$, esto ha $\sup(A) = 2$, pero $2$ no es un punto límite de $A$.

Tenga en cuenta que la respuesta a esta pregunta podría ser sensible a la definición de límite, así que le doy la definición de (Croom 1989): Deje $(X,T)$ ser un espacio topológico y $A \subset X$, un punto de $x \in A$ es llamado un punto límite de Una si

• cada conjunto abierto que contiene a $x$ contiene un punto de $A$ distinta de A.

Una condición suficiente sería que el supremum no se pone en $A$, por ejemplo, $A = (0,1)$ $\sup(A) = 1$ $1$ es un punto límite de $ $. Pero no es necesario condición (considere el $[ 0, 1 ]$).

Podemos decir que el supremum es un máximo o un punto límite?

Answer 1

Deje $A$ ser un vacío superior en el limitado subconjunto de $ℝ$ y deje $a := \sup(A)$. Hay dos opciones: $a ∈ A$ o $a ∉ A$. Hay dos opciones diferentes: existe $x < a$ tal que $(x, a) ∩ A = ∅$ o para cada $x < a$ tenemos $(x, a) ∩ A ≠ ∅$. Vamos a considerar todas las combinaciones:

• $a ∈ A$ $(x, a) ∩ A = ∅$ algunos $x < a$: esto significa que $a$ es un aislado máximo de $A$, como al $A = \{0, 1\}$.
• $a ∈ A$ $(x, a) ∩ A ≠ ∅$ por cada $x < a$: esto significa que $a$ es un límite máximo de $A$, como al $A = [0, 1]$.
• $a ∉ A$ $(x, a) ∩ A = ∅$ algunos $x < a$: esto no puede suceder.
• $a ∉ A$ $(x, a) ∩ A ≠ ∅$ por cada $x < a$: esto significa que $x$ es un no-alcanzados supremum, como al $A = [0, 1)$.

Así que tenemos tres tipos de la situación: $\{0, 1\}$, $[0, 1]$, y $[0, 1)$ (aislado máximo, límite máximo, no alcanzado supremum). El supremum es el límite que precisamente en los dos últimos casos.

Answer 2

Por otra parte, que $X$ ser linealmente ordenado espacio topológico y que $A ⊆ X$. Hay cinco mutuamente exclussive posibilidades en cuanto a $\sup(A)$:

1. $A$ no tiene ninguna supremum.
2. $\sup(A) ∈ A$ y $\sup(A) ∈ \overline{A ∩ (←, \sup(A))}$: máximo de límite.
3. $\sup(A) ∈ A$ y $\sup(A) ∉ \overline{A ∩ (←, \sup(A))}$: máximo aislado.
4. $\sup(A) ∉ A$ y $\sup(A) ∈ \overline{A ∩ (←, \sup(A))}$: supremum no logró.
5. $\sup(A) ∉ A$ y $\sup(A) ∉ \overline{A ∩ (←, \sup(A))}$: $A = ∅$ y $\sup(A) = \min(X)$... "supremum vacía".

Todos los cinco casos se realizan en $X = [0, ∞)$: $A$ toma el valor $[0, ∞)$, $[0, 1]$, ${0, 1}$, $[0, 1)$ y $∅$, respectivamente.