Comprensión de la $\mathrm{d}x$ en integrales

Question

La integral es generalmente presentado como una extensión de la suma de Riemann, es decir,

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n f(x_i)\,\Delta x_i = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x $$

con la explicación habitual que $\sum \to \int$ (finito suma infinita suma) y $\Delta x \to \mathrm{d}x$ (elementos finitos para infitesimal elemento). Esta es una buena explicación intuitiva, pero no explica lo $\mathrm{d}x$ es. Intentar leer la definición de un diferencial da una muy amplia y general definición que no parecen ser de aplicación inmediata a las integrales.

Sin embargo, estos $\mathrm{d}$-las cosas aparecen en diferentes entornos, tales como la teoría de la probabilidad $$ \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}F(x) $$ y ecuaciones diferenciales (y la sustitución de variables) $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x \ffi \mathrm{d}y = x\,\mathrm{d}x \ffi \int\mathrm{d}y = \int x\,\mathrm{d}x $$ sin aparente conexión a la original $\Delta x$. Esto puede ser confuso, y no aparece para complicar las cosas innecesariamente. También parece posible definir todos estos conceptos sin esta $\mathrm{d}$cosa: $$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n f(x_i)\,\Delta x_i = {\Large\mathcal{I}}_a^b f(x) \\ {\Large\mathcal{I}}_a^b F'(x) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x \ffi {\Large\mathcal{I}}y' = {\Large\mathcal{I}}x $$

Entonces, ¿cuál es el propósito de la $\mathrm{d}$-las cosas? Es sólo una historia antigua, o es posible asignar la intuición y propósito significado a $\mathrm{d}x$ sin recurrir a los conceptos abstractos en la geometría diferencial? Tal vez una versión simplificada que se explica fácilmente aplicable y a las integrales.

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Parece claro que en algunos casos esto no puede ser subsanada mediante la realización de una alternativa de integración de la función ${\Large\mathcal{I}}$, ya que hay campos donde $\mathrm{d}x$ parece tener algún significado: $$ \int_{\partial\Omega}\omega = \int_\Omega \mathrm{d}\omega $$ (a menos que esto es sólo engañosamente notación similar a la integración normal.)

Así que ¿cómo se puede motivar el uso de $\mathrm{d}$ que es accesible cuando uno de los primeros encuentros integrales, pero no causa confusión cuando se enfrentan a ella más adelante? I. e. hay intuiciones además de a $\Delta x\to \mathrm{d}x$ que da idea de la interpretación de $\mathrm{d}x$?

Answer 1

En la mayoría de los casos, podemos decir $\mathrm{d}$ es simplemente notación utilizada para dar contexto. Yo sostengo que no hay una buena "definición universal" de $\mathrm{d}$, al menos uno que no es demasiado complejo para aquellos que están comenzando a aprender sobre el cálculo. Sin embargo, no son compartidos temas que se encuentran entre los usos de $\mathrm{d}$.

En cada caso, uno debe explicar la notación(s) detrás de una idea determinada. Al hacer esto, nos algo de divorcio, la notación de los rigurosos significado, deshacerse de ideas tales como "$\mathrm{d}x$ es un número" o "$\mathrm{d}y$ se divide por $\mathrm{d}x$".

Así que, voy a tratar de resaltar algunos de los casos donde $\mathrm{d}$ aparece, y el intento de motivar.

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La definición de la derivada está dada como

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0 } \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Tanto "$\mathrm{d}$"s informalmente capturar el hecho de que la derivada es una limitante de la relación. Por otra parte, esta notación lleva a la intuición en nuestro cerebro sobre "$\Delta$"s "$\mathrm{d}$"s. Ambos son simplemente la notación, sin embargo, que conducen a la real matemáticos hechos como la notación ha sido conectado a la intuición. Nota:

$$\frac{f(g(x+h_1))-f(g(x))}{g(x+h_1)-g(x)} = \frac{f(g(x)+h_2)-f(g(x))}{h_2} = \frac{\Delta (f \circ g)}{\Delta g}$$

y

$$\frac{\Delta g}{\Delta x} = \frac{g(x+h_1)-g(x)}{h_1}$$

así, (el "$\Delta$"s corresponden a diferentes cambios, $h_1$$h_2$)

$$\frac{\Delta (f \circ g)}{\Delta x} = \frac{\Delta (f \circ g)}{\Delta g} \frac{\Delta g}{\Delta x}$$

Y cuando hacemos esta rigurosa($h_1, h_2 \to 0$), resulta que

$$\frac{\mathrm{d}(f \circ g)}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}(f \circ g)}{\mathrm{d}g} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$$

O si $f$ es una función de $g$ $g$ es una función de $x$, notationally,

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$$

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La segunda derivada es simplemente la derivada de la derivada. Sin embargo, podemos verlo como tal con "$\Delta$"s:

$$\frac{\Delta(\frac{\Delta f}{\Delta x})}{\Delta x} = \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2} = \frac{\Delta^2 f}{(\Delta x)^2}$$

donde $\Delta^2$ se acaba de definir a este "doble diferencia." Uno puede ver claramente cómo la notación

$$f''(x) \equiv \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}$$

parallels este hecho. Por otra parte, a partir de esta intuición acerca de las diferencias, podemos comenzar a investigar y encontrar:

$$\Delta^n f = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+kh)$$

Por lo que el exponente-como la notación se adapta muy bien, como $\mathrm{d}x^n$ corresponde a $(\Delta x)^n$ notationally, y $\mathrm{d}^n f$ corresponde a $\Delta ^n f$, lo que casi toma la forma del polinomio

$$(x-1)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}x^k$$

De nuevo, $\mathrm{d}$ sirve para conectar estos aparentemente dispares ideas en nuestro cerebro a través de la notación.

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Un separables ecuaciones diferenciales puede ser definida como una ecuación de la forma

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)g(y)$$

Ahora, considere la posibilidad de un punto de $(x_0, y(x_0))$ para algunos la solución de $y$. Utilizando la definición de derivada, vemos que

$$\lim_{h \to 0} \frac{y(x_0 + h) - y(x_0)}{h} = f(x_0)g(y(x_0))$$

O en términos de "$\Delta$"s,

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f(x_0)g(y(x_0)) + \epsilon \iff \frac{1}{g(y(x_0))} \Delta y = f(x_0) \Delta x + \frac{\epsilon \Delta x}{g(y(x_0))}$$

Ahora, bajo ciertas condiciones($f$ puede ser integrado, alguna condición en el cero conjuntos de $g$, etc.), podemos elegir un intervalo de $[a,b]$ tal que las sumas

$$\sum \frac{1}{g(y(x_0))} \Delta y \to \int_{x=a}^{x=b} \frac{1}{g(y)} \mathrm{d}y$$ $$\sum f(x_0) \left(\Delta x + \frac{\epsilon \Delta x}{g(y(x_0))}\right) \to \int_{x=a}^{x=b} f(x) \mathrm{d}x$$

Notationally, tenemos

$$\frac{1}{g(y)} \mathrm{d}y = f(x) \mathrm{d}x$$

que es sólo una notación que refleja lo que se muestra arriba.

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En Stokes,

$$\int_{\partial \Omega} \omega = \int_{\Omega} \mathrm{d}\omega$$

el $\Delta x$ intuición simplemente no; es demasiado unidimensional. Podemos, sin embargo, conciliar la formalización de $\mathrm{d}$ con la intuición de que es común a casi todos los usos de $\mathrm{d}$.

La suma de los "infinitesimal" cambios en el interior es igual al cambio total, como se ve en la frontera.

En última instancia, este uso de $\mathrm{d}$ captura la noción de "infinitesimal" bastante bien, y no sólo en un sentido analítico, pero en una forma geométrica de la moda. Quiero decir, basta con ver esta imagen!

Answer 2

En la física tiene sentido incluir el d-cosa en la notación para el bien de la unidad de consistencia. Un ejemplo: $$s = \int v\,\mathrm{d}t$$ Aquí podemos integrar la velocidad (m/s) a lo largo del tiempo (unidad s) para obtener la distancia (unidad m). Mirando esta notación tiene sentido que la multiplicación de la unidad de m/s con la unidad de s de los rendimientos de la unidad m. Este tipo de intuición se perdería si el d-cosa que se oculta dentro de la definición de la integral. Esto, junto con la $\Delta x\to \mathrm{d}x$ intuición, hace que la notación muy acertada en mi opinión.

Answer 3

También debo agregar (iba a comentar que si tenía la reputación) a las respuestas de arriba, que estos "diferenciales", cuando se utiliza en el volumen de integración, por ejemplo, son útiles como buena notación para recordar el orden correcto en el que las variables deben ser integrados, pero no tiene mucho sentido para mí diciendo que su "multiplicación" de los rendimientos de un "elemento de volumen" (no olvidar el Jacobiano!); sin embargo, no es una forma interesante de conectar esta idea con la definición abstracta de los diferenciales. Véase, por ejemplo, O'Neill, el libro, Cap. 4.: https://www.google.com.br/search?q=barrett+o%27neill+elementary+differential+geometry&oq=barrett+o%27neill+elementary+differential+geometry&aqs=chrome..69i57j0l5.9502j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Answer 4

Además y en apoyo a la justificación explicativa "dimensional" en respuesta de Ovaflo, el $dx$ es el diferencial de $x$ (o $f(x)=x$).
Y es sin duda necesario y debe estar presente para decir, por ejemplo, que $$ \int{}^ {} {f (x ^ {\,2}) dx} {\ne \int{}^} {f (x ^ {\,2}) d\left ({x ^ {\,2}} \right)} $ y $$ \int{}^ {} {f(x/t) dx} {\ne \int{}^} {f(x/t) dt} $$ y ser capaces de cambiar la variable de integración , integración por partes, etc. etcetera.