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Esta es la razón por la que algunas personas prefieren el uso de $-d$ $d > 0$ en lugar de $d < 0$. Con $-d$, a continuación, puede escribir la norma de un número de $a^2 + db^2$. Entonces, es obvio que usted no puede tener $a^2 + db^2 = -1$. Además, como $a$ $b$ llegar más lejos de 0, la norma es correspondientemente mayor.
Así que independientemente de la unidad que hay en el anillo debe tener pequeño $a$ $b$ y por lo tanto ser muy cercano a 0. Así, por ejemplo, en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, podemos ver que $-1$ tiene una norma de 1 y por lo tanto es una unidad, pero ya $-1 + \sqrt{-5}$ tiene una norma de 6 y, de hecho, cualquier número en este anillo con tanto $|a|$ $|b|$ mayor que 1 debe tener una norma superior a 6.
Oh, pero hemos de tener en cuenta la denominada "media enteros". Por ejemplo, $$N\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.$$ However, $$N\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-7}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 2,$$ por lo que hace por medio enteros que son las unidades.
Esto no es una rigurosa prueba, pero creo que aquí hay suficiente para que usted pueda hacer uno.
Voy a asumir que usted significó $d \not \equiv 1 \bmod 4$. Si usted quería decir que, mi respuesta puede ser que necesite ligeros ajustes.
$$a + b\sqrt d \text{ is a unit }\implies (a + b\sqrt d)(c + e\sqrt d) = 1$$
Hasta ahora tan bueno. Por supuesto, cabe señalar que $\{a, b, c, e\} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$. Lo que es más importante, sin embargo, cualquiera de las $c = -a$ $e = b$ o $c = a$$b = -e$. Sin pérdida de generalidad (que estoy utilizando correctamente, ¿verdad?), vamos a reescribir $c + e \sqrt{d}$$a - b \sqrt{d}$. Entonces
$$(a + b\sqrt d)(a - b \sqrt d) = 1 \implies (a^2 - db^2)(a^2 + db^2) = 1 \implies a^2 - db^2 = \pm 1$$
Es en este punto que me gustaría invocar el Señor Sopa de acceso directo. Reemplace $d$ $-d$ y reemplace$a^2 - db^2$$a^2 + db^2$. A continuación, $d$ es positiva y $a^2 + db^2 = -1$ no tiene soluciones. Si $d > 1$ (recuerde que la sustitución se nos hace justo hace un minuto), y $b \neq 0$, $db^2 > 1$ $a + b \sqrt{d}$ no puede ser una unidad.
Así que para que el número sea una unidad, se requieren $b = 0$. Y luego si $a > 1$ o $a < -1$$a^2 > 1$. No tengo que decirte lo que pasa si $a = 0$. Luego, por un proceso de eliminación, $a = \pm 1$, $b = 0$ y por lo tanto los únicos números en el grupo de unidades de $\{-1, 1\}$.
Estás rogando a la pregunta. Usted demostrar que $a^2-db^2=\pm1$, pero no se puede concluir ahora que $a+b\sqrt{d}=\pm1$. Lo que se puede derivar es que $a+b\sqrt{d}$ es una unidad con inverse $\pm(a-b\sqrt{d})$.
En realidad, desde $d<0$, $a^2-db^2\ge0$, así que usted sólo puede tener $a^2-db^2=1$.
Ahora $a^2-db^2\ge a^2$. Si va a ser igual a $1$, tenemos $a=0$ o $a=\pm1$. En el primer caso $-db^2=1$ es imposible, como $d<-1$. Por lo $a=\pm1$ y, por tanto,$b=0$.
No hay necesidad de suponer que $d$ es squarefree. Este supuesto es relevante cuando desee considerar la posibilidad de $\mathbb{Q}[d]$, debido a que este es el mismo que $\mathbb{Q}[d']$ donde $d'$ es squarefree y $d=x^2d'$ para algunos entero $x$. El campo $\mathbb{Q}[d]$ está obviamente relacionado con $\mathbb{Z}[d]$, siendo su campo de cocientes.
