¿Son las curvas integrales de un vector campo $X$ tal que $\nabla_X X = 0$ Geodesia?

Question

Deje $(M,g)$ ser una de riemann colector, $X$ un campo de vectores de $M$ $\gamma \colon M \to \mathbb{R}$ una curva integral de $X$$\gamma'(t) = X(\gamma(t))$. Suponga también que la de Levi-Civita de conexión de $\nabla_X X = 0$ donde

Son las curvas integrales de un $X$ geodesics?

Yo creo que es cierto. Una curva de $\gamma$ $M$ es una geodésica si y sólo si la derivada covariante $\nabla_{\gamma'(t)}\gamma'(t) = 0$. Pero desde $\gamma$ es una curva integral de $X$, apenas tapando $X(\gamma(t))$ en la conexión y el uso de la hipótesis de que la $\nabla_X X = 0$ da el resultado.

Es esto correcto?

Answer 1

$X(X,X)=0$ así que $|X|$ es constante en una curva integral $c(t)$. $c$ Es una velocidad constante, así que por una asunción, $c$ es una geodésica.

Answer 2

La respuesta es sí. Creo que podemos demostrar que con la retirada de conexión. En cualquier curva de $\alpha$ tenemos la inducida por la retirada de la conexión $\alpha^\ast \nabla$. La geodésica ecuación se convierte con ella $$\alpha^\ast \nabla_{d/ds} \alpha' = 0$$

Nos muestran que esto es satisfecho. Deje $\gamma$ ser parte integral de la curva. Así tenemos que el $X \circ \gamma = \gamma'$. Resulta que esto significa que $\gamma' = \gamma^\ast X$, por lo que es un retroceso de la sección. Por lo tanto $$\gamma^\ast \nabla_{d/ds} \gamma' =\gamma^\ast \nabla_{d/ds} \gamma^\ast X, $$

y, por definición, de la retirada de la conexión $$\gamma^\ast \nabla_{d/ds} \gamma' =\gamma^\ast \nabla_{\gamma_\ast d/ds} X, $$

pero $\gamma_\ast d/ds = X \circ \gamma$ y ya que la conexión es $C^\infty$ lineal en la siguiente ranura tenemos $$\gamma^\ast \nabla_{d/ds} \gamma' =\gamma^\ast \nabla_{X} X, $$

así que cuando su condición se cumple la curva es una geodésica.