¿Por qué tiene la solución de un único valor?

Question

Me han demostrado que una suave solución del problema $u_t+uu_x=0$ $u(x,0)=\cos{(\pi x)}$ debe satisfacer la ecuación de $u=\cos{[\pi (x-ut)]}$. Ahora quiero mostrar que la $u$ deja de existir (como un solo valor de función continua) al $t=\frac{1}{\pi}$.

Al $t=\frac{1}{\pi}$, entonces tenemos que $u=\cos{(\pi x-u)}$.

Con un solo valor de la función es esto significaba que la función es de 1-1 ?

Si es así, entonces tenemos que $\cos{(2 \pi-u)}=\cos{(4 \pi -u)}$, es decir, para dos diferentes valores de $x$, obtenemos el mismo $u$, por lo que para $t=\frac{1}{\pi}$, $u$ no es de 1-1.

Pero si esto se entiende, ¿cómo estamos seguros de que para $t \neq \frac{1}{\pi}$ la función es de valor único?

Answer 1

La solución de $u(x,t)$ está implícitamente definido por la ecuación de $F(x,t,u) = u - \cos\Big(\pi(x - ut)\Big) = 0$. El Teorema de la Función Implícita afirma que $F(x,t,u) = 0$ define $u$ como una función de la $x,t$ si $\dfrac{\partial F}{\partial u}\neq 0$, de lo contrario, esperamos que las características que se intersecan (así, a lo largo de un choque de la curva), es decir, $u(x,t)$ se convierte en multi-valuadas.

La derivada parcial de $F$ con respecto al $u$ es $$ \frac{\partial F}{\partial u}\colon = \partial_u F = 1 - \pi t\sin\Big(\pi(x-ut)\Big) $$ y a lo largo de la característica $x = \cos(\pi x_0)t + x_0 = u(x_0,0)t + x_0$ por un arbitrario pero fijo $x_0\in\mathbb{R}$ tenemos que $$ \partial_u F = 1 - \pi t\sin(\pi x_0). $$ De ello se desprende que $\partial_u F = 0$ siempre $$ t = \frac{1}{\pi\sin(\pi x_0)}. \tag{1}$$

Denotar por $t^*$ el menor tiempo donde $\partial_u F = 0$. Claramente, $\partial_u F\neq 0$ todos los $t\ge 0$ si $$ \pi x_0\in [n\pi, (n+1)\pi], n=\pm 1,\pm 3, \pm 5, \dots, $$ así que supongo que no. Se desprende de lo $(1)$ que $$ t^* = \min_{x_0\in\mathbb{R}}\frac{1}{\pi\sin(\pi x_0)} = \frac{1}{\pi}. $$