Evaluar el límite con exponentes usando L ' Hôpital ' s regla o serie de expansión

Question

Evaluar el límite$ $\lim_ {x\to 0} \dfrac {\left (\frac {a ^ x + b ^ x} {2} \right) ^ {\frac {1} {x}}-\sqrt{ab}}{x}$$ It is known that $a > 0, b > 0$

Mi intento:

Que sólo pude detallar %#% $ #%

Answer 1

El uso de la expansión de la serie de $\log(1+x)$, obtenemos $$ \frac1x\,\log\left(1+mx+nx^2+O\!\a la izquierda(x^3\right)\right) =m+\left(n-\frac{m^2}2\right)x+O\!\a la izquierda(x^2\right) $$ El uso de la expansión de la serie de $e^x$, obtenemos $$ \left(1+mx+nx^2+O\!\a la izquierda(x^3\right)\right)^{1/x} =e^m\left(1+\left(n-\frac{m^2}2\right)x+O\!\a la izquierda(x^2\right)\right) $$ Por lo tanto, escribir $a^x=e^{x\log(a)}$ $b^x=e^{x\log(b)}$ y el uso de la expansión de la serie de $e^x$, obtenemos $$ \begin{align} \frac{\left(\frac{a^x+b^x}2\right)^{1/x}-\sqrt{ab}}x &=\frac{\scriptsize\left(1+\frac x2(\log(a)+\log(b))+\frac{x^2}4\left(\log(a)^2+\log(b)^2\right)+O\!\left(x^3\right)\right)^{1/x}-\sqrt{ab}}x\\ &=\frac{\sqrt{ab}\left(1+\frac{\log(a)^2+\log(b)^2-2\log(a)\log(b)}8x+O\!\left(x^2\right)\right)-\sqrt{ab}}x\\[9pt] &=\frac18\sqrt{ab}\,(\log(a)-\log(b))^2+O(x) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x\to0}\frac{\left(\frac{a^x+b^x}2\right)^{1/x}-\sqrt{ab}}x =\frac18\sqrt{ab}\,(\log(a)-\log(b))^2 $$

Answer 2

No está seguro de cómo se podría entender

Pero después de que el límite se convierte en $$\lim{h\to0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h-0}=f'(x){\text{ at }x=0}$$ where $f (x) = \left (\dfrac {a ^ x + b ^ x} 2\right) ^ {1 / x} $

Answer 3

Tenemos que

• $a^x=e^{x\log a}=1+x\log a+\frac12x^2\log^2 a+o(x^2)$

• $b^x=e^{x\log b}=1+x\log b+\frac12x^2\log^2 b+o(x^2)$

entonces

$$\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}=\left(\frac{2+x\log ab+\frac12x^2(\log^2 a+\log^2 b)+o(x^2)}{2}\right)^{\frac{1}{x}}=\left(1+x\log \sqrt{ab}+\frac14x^2(\log^2 a+\log^2 b)+o(x^2)\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\log\left(1+x\log \sqrt{ab}+\frac14x^2(\log^2 a+\log^2 b)+o(x^2)\right)}{x}}$$

y ya

$$\log\left(1+x\log \sqrt{ab}+\frac14x^2(\log^2 a+\log^2 b)+o(x^2)\right)\\=x\log \sqrt{ab} +\frac14x^2(\log^2 a+\log^2 b)-\frac12x^2\log^2\sqrt{ab}+o(x^2)$$

tenemos que

$$e^{\frac{\log\left(1+x\log \sqrt{ab}+\frac14x^2(\log^2 a+\log^2 b)+o(x^2)\right)}{x}}=\sqrt {ab}(1+\frac14x(\log^2 a+\log^2 b)-\frac12x\log^2\sqrt{ab}+o(x))$$

por lo tanto

$$\dfrac{\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} -\sqrt{ab}}{x}= \sqrt {ab}\left(\frac14(\log^2+\log^2 b)-\frac12\log^2\sqrt{ab}+o(1)\right)\\sqrt {ab}\left(\frac14(\log^2+\log^2 b)-\frac12\log^2\sqrt{ab}\right) =\sqrt {ab}\left(\frac14(\log^2+\log^2 b)-\frac18(\log a+\log b)^2\right)=\frac{\sqrt {ab}}8\left(\log a-\log b\right)^2$$

Answer 4

sólo tiene que utilizar el hospital de l H para él, un Consejo para que es este informe puede escribir $((a^x+b^x)/2)^{1/x}$: $e^{[\ln((a^x+b^x)/2)]/x}$, para que puedas usar cadena descarta a differeitiate, aquí estás, las hojas de respuesta para usted