Mapa inducido por$\mathbb{R}P^2\to\mathbb{C}P^2$ en homología.

Question

Deje $i\colon \mathbb{R}P^2\to \mathbb{C}P^2$ la costumbre de incrustación $i( [x:y:z] )=[x:y:z]$. Quiero calcular la inducida por el mapa por $i$ en el segundo homología de grupos con $\mathbb{Z}/2$ de los coeficientes. Creo que la manera más fácil debe ser la utilización de la intersección de emparejamiento. Vamos $$S=\{ [z_0:z_1:z_2]\in \mathbb{C}P^2\mid a_0z_0+a_1z_1+a_2z_2\}$$ ser un $\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^2$, y $$N=\{ [x_0:x_1:x_2]\in \mathbb{C}P^2\mid x_i\in\mathbb{R}\}.$$ Si me muestran que la $N\cdot S=|N\cap S| \ne 0$ algunos $(a_1,a_2,a_3)\in \mathbb{C}^3$, luego, en particular, la inducida por el mapa será un isomorfismo $\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/2$.

Sin embargo, creo que el $N$ $S$ debe cruzan transversalmente a tener la igualdad de $N\cdot S=|N\cap S|$. ¿Cómo puedo hacer esto? Yo no estoy familiarizado con la intersección de la vinculación, así que cualquier sugerencia, etc serán bienvenidos.

Answer 1

Me gusta esta estrategia, aunque tal vez sólo tomar $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = -i$ así que estamos de intersección $[x_0 : x_1 : x_2]$$[z_0 : z_1 : iz_1]$. La única forma de escala de las dos últimas coordenadas a ser real es si $z_1 = 0$; en el caso del que nos quedamos con los puntos de $[z_0: 0 : 0]$. Hasta escalar el cambio, no sólo es uno de ellos, $[1 : 0 : 0]$. Evidentemente, esto es real.

Ahora debemos comprobar que la intersección de a $[1:0:0]$ es transversal. Me gustaría escribir $T_{[1:0:0]} \Bbb{CP}^2$$\Bbb C^2$, generado por la tangente vectores de cambio de la segunda o tercera coordenada por algún número complejo. $T\Bbb{RP}^2$ $\Bbb R^2 \subset \Bbb C^2$ , los elementos reales; el complejo de la línea de $\Bbb{CP}^1$ tiene el espacio de la tangente dada por el complejo subespacio $\Bbb C \subset \Bbb C^2$ generado por $(1,i)$. Estos dos espacios vectoriales son en suma directa: su intersección es igual a cero (que por supuesto no se puede escribir $(\lambda, i\lambda)$ por dos reales, a menos que $\lambda = 0$), y se suma a la dimensión del espacio total. Así que esta es una transversal de la intersección, como se desee, y la intersección producto es 1.