La motivación para esta pregunta es que me gustaría formular Lagrangiana de la mecánica en un puramente discretos (ver también mi mayor pregunta en la física.se). Lamentablemente varias de las principales piezas de maquinaria, tales como Hamilton menos el principio de la acción y del teorema de Noether, como era de esperar requieren diferencial de la estructura en el colector de posibles configuraciones físicas.
De ahí mi pregunta: ¿cuánto geometría diferencial (o incluso la geometría de Riemann) se puede hacer poniendo una estructura adicional en los colectores $M$ locales homeomórficos a $\mathbb{Q}^n$?
Incluso para $n=1$, preveo complicaciones, ya que las funciones lisas $\gamma:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ pueden ser mal comportamiento, tales como $$\gamma(x) = \begin{cases}0, & x<\sqrt{2}\\ 1, & x >\sqrt{2}\end{cases}$$ pero tal vez sea posible para evitar este tipo de problemas por la restricción de los gráficos para ser, por ejemplo, las funciones lisas con todos los derivados de Lipschitz continua, etc?
Por supuesto, esta es una pregunta muy amplia; estoy preguntando específicamente (i) ¿cuánto trabajo se ha realizado sobre este tema? Hay una buena referencia? O (ii) hay una fundamental obstrucción a la que todo el enfoque?
