¿Es este espacio$S^3$?

Question

Aprendí aquí que si pegamos dos copias del tori sólido juntas a lo largo de su límite, obtenemos$S^3$. ¿Qué sucede si el mapa de pegado es más complicado? En particular, recuerde que cada$A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ da un homeomorfismo$T^2 \rightarrow T^2$. Supongamos que pegamos dos tori sólidos a lo largo de este mapa, ¿todavía obtendríamos$S^3$? Si no, ¿qué obtendríamos? ¿Se pueden calcular sus grupos de homotopía u homología?

Answer 1

En realidad, dado cualquier $A\in GL_2(\Bbb Z)$ si $[p,q]^T$ es la primera columna de $A$, entonces el espacio de obtener el uso de $A$ es solo el lente de espacio $L(p,q)$, cuyo grupo fundamental de la es $\Bbb Z_p$; es decir, el espacio que usted describe es determinado por el homotopy clase de la imagen, por cualquier homeomorphism que estás usando, de el meridiano de el toro, por lo que el único caso en el que usted consigue $S^3$ es al $[p,q]=[0,1]$. Ver Hatcher notas sobre el $3$-colectores, donde se muestra esto en la sección "Clasificación de la Lente de los Espacios".

Edit: es fácil mostrar el colector $M$ que usted describe es orientable; si el homeomorphism invierte la orientación de tomar dos copias de la sólida toro con orientaciones opuestas. A continuación, por la Dualidad de Poincaré $H_2(M)\cong H^1(M),$ sin embargo $H_1(M)\cong \Bbb Z_p$, obtenemos por el universal coeficiente teorema que $H^1(M)\cong 0$, y por lo tanto $H_2(M)\cong 0$. Finalmente, como $M$ es un cerrado orientable $3$-colector llegamos $H_3(M)\cong\Bbb Z$, e $H_i(M)\cong 0$ todos los $i>3$