Integral

Question

Me topé con esta integral $$I=\int_1^3 \frac{\log x}{x^2+3}dx$$ Since the answer given by Wolfram-Alpha is $I=\frac{\pi \log 3}$ {12\sqrt3} traté de trabajar cerca de los límites de la integral porque como un integral indefinida supondrá unos polylogarythms que quiero evitar. Pero no una sola substitución como $x=\frac{1}{y}$ o $x-2=u$ dio cualquier look mejor a este integrante. Y cuando se integra por partes siento empeoró. ¿Tal vez me podrias ayudar en esto?

Answer 1

Sugerencia Uno de tus intentos es muy cercano a uno que da una solución limpia.

Sustituyendo$x = \frac{3}{u}, dx = -\frac{3}{u^2} du$ da$$\int_1^3 \frac{\log x\, dx}{x^2 + 3} = \int_3^1 \left(\frac{\log u - \log 3}{u^2 + 3}\right) du = -\int_1^3 \frac{\log u\, du}{u^2 + 3} + \log 3 \int_1^3 \frac{du}{u^2 + 3} .

El segundo término a la derecha es una integral estándar. ¿Qué notas sobre el primer término a la derecha?