Esta pregunta está relacionada con mi anterior.
Estoy interesado en una evaluación explícita en términos de Euler sumas de dinero para $$ \int_{0}^{\pi/4}\text{Li}_3(\cos^2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{1/2}\frac{\text{Li}_3(1-z)}{\sqrt{z(1-z)}}\,dz.$$
No es difícil mostrar que $$ \int_{0}^{\color{red}{1}}\frac{\text{Li}_3(1-z)}{\sqrt{z(1-z)}}\,dz =-\frac{\pi^3}{3}\log(2)+\frac{4\pi}{3}\log^3(2)+2\pi\zeta(3)\tag{A}$$ pero no he logrado hacer un uso racional de la trilogarithm funcional identidades para el cómputo de $$ \int_{0}^{1/2}\frac{\text{Li}_3(z)}{\sqrt{z(1-z)}}\,dz\stackrel{\text{IBP}}{\longrightarrow}\int_{0}^{\pi/4}\theta\cot(\theta)\text{Li}_2(\sin^2\theta)\,d\theta \quad\text{or}\quad\int_{0}^{1/2}\frac{\text{Li}_3(z)-\text{Li}_3(1-z)}{\sqrt{z(1-z)}}\,dz ,$$ que habría resuelto el problema. Uno podría necesitar sustancial de las extensiones de el resultado en $\mathcal{I}(a,b)$ demostrado aquí por nospoon. Estoy esperando la integral anterior para ser relacionados con Euler sumas de dinero (en total) de peso de cinco años. Tal vez el pasado-de Fourier de Chebyshev de expansión de $\text{Li}_3(x)$ $(0,1)$ ya es conocido en la literatura, pero no he sido capaz de encontrarlo.
