Clase de integrales: $I(a)=\int_0^\infty \frac{dx}{e^x+ax}$

Question

Estoy investigando las integrales de la forma $$I(a):=\int_0^\infty \frac{dx}{e^x+ax}$$ Hasta ahora, no he sido capaz de encontrar cualquier valor especial distinta de $I(0)=1$, y sólo he podido evaluar estos similares indefinido integrales: $$\int \frac{x-1}{e^x+ax}dx=-\frac{\ln(1+axe^{-x})}{a}+C$$ $$\int \frac{xdx}{e^x+x+1}=-\ln(1+e^{-x}(x+1))+C$$ También he encontrado el siguiente serie representación de $I(a)$: $$I(a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-a)^n n!}{(n+1)^{n+1}}$$ ...que se parece sorprendentemente similar a la de la serie de Maclaurin para la de Lambert-W función.

PREGUNTA: ¿Puede alguien encontrar no trivial valores especiales de esta integral? Esto me parece raro, porque de lo extraño de la serie representación de $I(a)$, así que si esto no es factible, puede alguien encontrar interesantes propiedades o funcional/ecuaciones diferenciales para $I(a)$?

ACTUALIZACIÓN: me las he arreglado para mostrar que $$\lim_{a\to\infty }\frac{aI(a)}{\ln(a)}=1$$

Answer 1

No una respuesta, pero una observación (expreso mi interés en tu pregunta). Otra representación integral de $I(a)$ es $$I(a)=\int_0^{+\infty} \frac{x\,dx}{e^x+ax}$ $ (sigue de la primera de las Integrales indefinidas en su pregunta). También$$ I'(a)=-\int_0^{+\infty} \frac{x\,dx}{(e^x+ax)^2}=-\int_0^{+\infty} \frac{x^2\,dx}{(e^x+ax)^2}.