El conjunto de las permutaciones de los números naturales tiene la cardinalidad del continuo. Tengo inyecciones en ambas direcciones, no hay problema. El Schröder–Bernstein teorema nos dice que esto implica la existencia de un bijection. Me pregunto si es posible construir una forma explícita.
(En lo que sigue, estoy usando la convención de que las $0\not\in\Bbb N$. Obviamente, esto no cambia nada, la cardinalidad de los sabios.)
Para $\Bbb R\to S_\Bbb N$, observamos que a cada número real es el límite de algunos de reordenamiento de la serie armónica alternante. Si $\alpha\in\Bbb R$, comenzamos con términos positivos: $1+\frac13+\frac15+\cdots$, hasta la obtención de una suma parcial mayor que $\alpha$. A continuación, agregamos términos negativos hasta nuestros suma parcial es menor que $\alpha$, luego regresamos a los términos positivos, empezando con la primera no utilizados, etc.
De esta manera, se construye una serie, y si tomamos los valores absolutos de los recíprocos de los términos de la misma, tenemos una permutación de $\Bbb N$. Esta asignación no se hacia, porque muchas permutaciones de la serie converge a $\alpha$ - todo lo que tenemos que hacer es "rebasamiento" en algún momento, y luego continuar convergiendo a $\alpha$ como de costumbre. (Más trivialmente, sólo obtenemos permutaciones con $\sigma(1)=1$ el uso de esta construcción particular.)
En el otro sentido, si tenemos una permutación $\sigma\in S_\Bbb N$, podemos escribir la continuación de la fracción $[\sigma(1);\sigma(2),\sigma(3),\ldots]$. Esta realidad se inyecta $S_\Bbb N$ a $\Bbb R\setminus\Bbb Q$, debido a que no termina fracciones continuas representan los números irracionales. Por lo tanto, esta asignación no es a; no es ni siquiera en el irrationals.Por ejemplo, no permutación de $\Bbb N$ mapas de esta manera a cualquier cuadrática irracional, o a $e$, o a cualquier otro irracional cuyo c.f. la expansión ha repetido términos.
Así, las inyecciones son muy divertidos y todo, pero encontrar una explícita bijection parece difícil. Claramente, un bijection entre el $S_\Bbb N$ y el intervalo sería suficiente, porque no son estándar, formas elementales para la construcción de bijections entre el $\Bbb R$ y cualquier intervalo de tiempo.
He buscado en Google en vano una solución, y no creo que esta pregunta es un duplicado. Voy a ser feliz de una sugerencia o una solución completa, o una explicación de por qué una construcción explícita es imposible.
La divulgación completa: alguien en línea afirmó que esto "no es difícil", pero se negó a explicar cómo, aparte de mencionar la secuencia de Cauchy de la construcción de los reales. No veo la manera de que es útil, y creo que se ha equivocado o bluff. Yo no soy demasiado orgulloso para admitir que estoy perplejo. :/
