Doy a continuación un argumento para demostrar que tal banalización no existe. El argumento se basa en 'elementary' homotopy teoría (después de todo, si una extensión no eran posibles, la obstrucción probablemente sería topológico de la naturaleza). No es especialmente constructivo, aunque se sugiere que una demostración constructiva debe ser posible en principio. Sin embargo, hay muchos problemas sutiles para evitar que, espero, sugerencia a la dificultad práctica para venir para arriba con un explícito, constructivo, calculatory prueba de este resultado.
Paso 1. Identificar las restricciones generales sobre la banalización de la $TS^3$:
Desde una banalización de un rango de $n$ real vector paquete de $p : E \to B$ es generalmente definido como un mapa de $T : E \to B \times \mathbb{R}^n$ tal que $\mathrm{id}_B \circ p = \mathrm{proj}_1 \circ T$, una banalización $T$ está completamente codificado en el mapa de $\mathrm{proj}_2 \circ T : E \to \mathbb{R}^n$. Basado en esta observación, nos limitaremos a describir como banalizaciones de $TS^3$ como mapas $TS^3 \to \mathbb{R}^3$.
Deje $\pi : TS^3 \to S^3$ el valor de la canónica paquete de mapa. Desde $S^3$ es parallelizable, existe una banalización $P : TS^3 \to \mathbb{R}^3$ que lo vamos a arreglar todo el argumento. Dado cualquier banalización $P' : TS^3 \to \mathbb{R}^3$, para cada una de las $b \in S^3$ obtenemos un mapa de $P'_b : T_bS^3 \to \mathbb{R}^3$ y por lo tanto un mapa de $T_{P'}(b) := P'_b \circ (P_b)^{-1} \in Gl(3)$. (Observe que este mapa $T_{P'}(b)$ tiene sentido siempre como $P'_b$ existe, independientemente de si $P'$ se define en el conjunto de la $TS^3$ o no). Post-composición de si es necesario $P'$ con el mapa de $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 : (x,y,z) \mapsto (x,y,-z)$, podemos restringir nuestra atención a los $P'$ tal que $T_{P'}(b)$ como positivo determinante ya que algunos (y, por tanto, a todos) $b \in S^3$. Observe también que $T_P = Id$ todos los $b$.
Una observación clave es que, dado un continuo círculo de $c : S^1 \to S^3$, el mapa de $S^1 \to Gl_+(3) : t \mapsto T_{P'}(c(t))$ tiene que ser contráctiles desde $c$ es contráctiles en $S^3$. Esto pone algunas restricciones en la posible banalización $P'$ que usted busca.
Paso 2. Construir una restricción a $T_NS^3$ de un posible banalización buscamos:
La 2- 'toro' $N \subset S^3$ es un buen submanifold, ya que es la preimagen de regular el valor de $1/2$ de la función suave $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1^2 + x_2^2$$S^3$. Dado cualquier Riemaniann métrica en $S^3$, el vector gradiente de campo $\nabla f$ es nonvanishing en $N$ y en todas partes de forma transversal a $TN$ a lo largo de $N$. Por lo tanto, obtener una división de $T_NS^3 \cong TN \oplus \mathbb{R}\langle \nabla f \rangle$. Considere algunas suave parametrización $g : S^1 \times S^1 \to N$; el inverso de su diferencial de $Dg$ induce una banalización $\tau : TN \to \mathbb{R}^2$. Por lo tanto obtenemos una banalización $Q : TN \oplus \mathbb{R}\langle \nabla f \rangle \to \mathbb{R}^2 \oplus \mathbb{R}$ en la forma obvia.
Dado un círculo de $c : S^1 \to N$, no hay a priori ninguna razón para que el mapa de $t \in S^1 \mapsto T_{Q}(c(t)) \in Gl_+(3)$ (se supone que tiene determinante positivo) para ser contráctiles. Sin embargo, desde la $Gl_+(3) \simeq SO(3)$, para cualquier fijo matriz $\ast \in Gl_+(3)$ tenemos $\pi_1(Gl_+(3), \ast) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con el generador representados por una vuelta completa un giro alrededor de la primera columna de la matriz $\ast$.
Fix $pt = g(1, 1) \in N$ y deje $c_1, c_2 : (S^1, 1) \to (N, pt)$ ser los dos habituales generadores de $\pi_1(N, pt)$, es decir, el pensamiento de $S^1$ como el círculo unidad en $\mathbb{C}$, $c_1(e^{it}) = g(e^{it}, 1)$ y $c_2(e^{it}) = g(1, e^{it})$$e^{it} \in S^1$. Tome $\ast = T_Q(pt) = T_Q(c_1(1)) = T_Q(c_2(1))$. Si $T_{Q}(c_i(-)) \in \pi_1(Gl_+(3), \ast)$ es el elemento no trivial, es posible cambiar la banalización $Q$ pre-composición de la diferencial de $Dg : T(S^1 \times S^1) \to TN$ por un paquete endomorfismo
$$h : T(S^1 \times S^1) = (S^1 \times S^1) \times \mathbb{R}^2 \to (S^1 \times S^1) \times \mathbb{R}^2 : (b, X) \mapsto (b, R(b)(X))$$
donde $R(b)$ es una rotación de $\mathbb{R}^2$ tal que $R(pt) = Id$ y el mapa de $S^1 \to SO(2) \simeq S^1 : e^{it} \mapsto R(c_i(e^{it}))$ hace que sea impar el número de vueltas completas si y sólo si el elemento $T_{Q}(c_i(-))$ es trivial. Por ejemplo, la identificación de $SO(2) \cong U(1)$, podemos tomar $R(g(e^{ir}, e^{is})) = e^{i(mr+ns)}$$m,n \in \mathbb{Z}$; luego, en particular, $R(g(e^{ir}, 1)) = e^{imr}$ $m$ vueltas al $e^{ir}$ hace una vuelta, así que sólo tenemos que elegir la paridad de $m,n$ de acuerdo con la anterior receta.
El nuevo banalización $Q' : T_NS^3 \to \mathbb{R}^3$ donde $Dg \circ h$ se utiliza en reemplazo de $Dg$ es tal que los elementos de la $T_{Q'}(c_i(-))$ son triviales.
Resulta que desde $c_1$ $c_2$ genera $\pi_1(N, pt)$, $T_{Q'}(c(-))$ es trivial para cualquier ciclo continuo,$c : S^1 \to N$, pero esto va a seguir a partir de nuestra próxima consideraciones.
Paso 3. La construcción de un homotopy$N$$T_{Q'}$$T_{P}$:
Ya que cada mapa de $T_{Q'}(c_i(-)) : (S^1, 1) \to (Gl_+(3), \ast)$ es contráctiles, se extiende a un mapa de $T_i : (S^1 \times [0,1], \{1\} \times [0,1]) \to (Gl_+(3), \ast)$ tal que $T_i(t,0) = T_{Q'}(c_i(t))$$T_i(t,1) = \ast$.
Nuestras consideraciones anteriores producir un mapa continuo $F : \partial([0, 2\pi]^2 \times [0,1]) \to Gl_+(3)$ como sigue:
- para $(r,s,t) \in [0,2\pi]^2 \times \{0\}$, $F(r,s,t) = T_{Q'}(e^{ir}, e^{is})$;
- para $(r,s,t) \in [0,2\pi] \times \{0, 2\pi\} \times [0,1]$, $F(r,s,t) = T_1(e^{ir}, t)$;
- para $(r,s,t) \in \{0, 2\pi\} \times [0, 2\pi] \times [0,1]$, $F(r,s,t) = T_2(e^{is}, t)$;
- para $(r,s,t) \in [0, 2\pi]^2 \times \{1\}$, $F(r,s,t) = \ast$.
Desde $Gl_+(3) \simeq SO(3)$ y desde $SO(3)$ es un compacto de Lie del grupo, tenemos $\pi_2(Gl_+(3), \ast) = 0$. Desde $[0, 2\pi]^2 \times [0,1] \cong D^3$, se deduce que el mapa de $F$ se extiende en un mapa continuo $F : [0, 2\pi]^2 \times [0,1] \to Gl_+(3)$.
A continuación definimos un mapa de $F' : (S^1 \times S^1) \times [0,1] \to Gl_+(3) : ((e^{ir}, e^{is}), t) \mapsto F(r,s,t)$. En otras palabras, se obtuvo un homotopy de mapa de $F'_t : (N, pt) \to (Gl_+(3), \ast)$ tal que $F'_0 = T_{Q'}$$F'_1 = \ast$. Desde $\ast$ es la ruta de acceso conectado a $Id \in Gl_+(3)$, en concatenación con una ruta de acceso de los rendimientos de un homotopy $N$ desde el mapa de $T_{Q'}$ a la constante mapa de $Id = \left. T_{P'} \right|_{T_N S^3}$.
Paso 4. La existencia de una banalización $P'$ buscamos:
Hemos obtenido un mapa continuo $H : (S^3 \times \{0\}) \cup (N \times [0,1]) \to Gl_+(3)$ tal que $H(b, 0) = Id = T_{P}(b)$ $b \in S^3$ que $H(b, 1) = T_{Q'}(b)$$b \in N$. Desde $N$ es un submanifold de la multiforme $S^3$, el par $(S^3, N)$ tiene el homotopy extensión de la propiedad, es decir, existe una extensión de $H' : S^3 \times [0,1] \to Gl_+(3)$ para el mapa de arriba $H$.
Set$T_{P'}(b) = H'(b, 1)$$b \in S^3$$P'_b := T_{P'}(b) \circ P_b$. El mapa de $P' : TS^3 \to \mathbb{R}^3$ es una trivialización tal que $P' = Q'$$T_N S^3$, ya que buscamos.
Paso 5. Suavizado:
El de arriba es un continuo de la trivialización. Sin embargo, esencialmente por Whitney aproximación, es posible homotopically perturbar de cualquier función continua en un suave; la mejor es, probablemente, no para suavizar $P'$ (ya que su dominio es noncompact), sino más bien el mapa $T_{P'} : S^3 \to Gl_+(3)$.
