Buena pregunta! Hay algunos matemáticos que no están de acuerdo en que la Ley del Medio Excluido es válida, y por lo tanto sólo aceptan directo pruebas de sonido, no de las pruebas por la contradicción. Se diría que su intuición es algo importante. Si usted está usando las reglas de la lógica, que no explotan cuando se encuentran con $p∧¬p$, es decir, una lógica que no indique que una incoherencia demuestra que todas las declaraciones son vacuously cierto, estás usando un paraconsistent lógica. Si usted puede demostrar una contradicción, y todavía pienso que la teoría es de interés, estás haciendo lo inconsistente de las matemáticas.
En las matemáticas y la filosofía, sin embargo, tal resultado sería demostrar que el sistema formal que se utiliza es inconsistente. En una lógica tradicional, tales como los axiomas de la lógica definida por David Hilbert, significa que todos (bien formado) declaraciones convertido en vacuously cierto como teoremas dentro de ese sistema. La prueba del sistema generado por la sola premisa de "Falsa" y que contiene todas las otras declaraciones como teoremas con la misma línea de prueba es demasiado trivial para ser interesante, y que le han demostrado la inconsistencia del sistema a ser equivalente a la trivial bajo la lógica tradicional, tan incoherente teoría sería abandonada. Pero, ya que había sido alguna razón, la gente estaba utilizando la teoría de antes, ellos se pregunte, "¿Podemos rescatar las piezas de esta teoría nos importa? Cambio de los axiomas, consistente, y todavía tiene una teoría interesante, tal vez incluso una de las más útiles?"
El ejemplo más conocido es, probablemente, cuando Frege trató de demostrar que todos los de las matemáticas podría ser fundada en la teoría de conjuntos. En su teoría, fue permisible para definir el conjunto de todos los conjuntos con alguna propiedad. Bertrand Russell demostró que esto llevó a la Paradoja de Russell: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, contienen en sí? Así, la teoría fue probada inconsistente.
Frege retiró su libro, pero la gente seguía trabajando en el problema. El resultado a largo plazo fue el desarrollo de Zermelo-Frankel la teoría de conjuntos, que la mayoría de los matemáticos utilizan como la base fundamental de su trabajo hoy en día. Dispone de diferentes axiomas que permiten demostrar la existencia de conjuntos correspondientes a los números naturales, los números reales, las matrices, las secuencias, y todas las otras estructuras que necesitamos para hacer matemáticas como actualmente lo entiendo. Sin embargo, (y esto no es una rigurosa explicación) son intencionalmente limitado, de manera que usted no puede probar la existencia de un conjunto que contiene a sí mismo, o algo parecido.
También hay que tener en cuenta que, por Gödel del Segundo Teorema de la Incompletitud, es imposible que un sistema formal tanto complejo suficiente para contener la aritmética, y, además, coherente, para demostrar su propia consistencia. Al menos no en un número finito de pasos.
