Comencemos con la definición de un punto focal.
Definición.$\label{def}$ Deje $(M,g)$ ser un colector de Riemann, y $N\subset M$ un submanifold. A continuación, un punto focal de $N$ es un punto de $q\in M$ tal que existe una geodésica $\gamma\colon[0,l]\to M$, con $\gamma(0)=p\in N$, $\gamma'(0)\in(T_{N,p})^{\perp}$, $\gamma(l)=q$, y no trivial de Jacobi campo $J$ a lo largo de $\gamma$, la satisfacción de
- $J(0)\in T_{N,p}$,
- $J'(0)+S_{\gamma'(0)}(J(0))\in(T_{N,p})^{\perp}$,
- $J(l)=0$,
donde $S$ es el operador lineal en $T_{N,p}$ dada por la segunda forma fundamental de la $N\subset M$, también llamada forma de operador o Weingarten mapa.
Por ejemplo, el conjunto de puntos focales (la focal conjunto) de $S^2\subset\mathbb{R}^3$ es el centro de la esfera, y que de $S^1\subset S^2$ es la unión de las dos antipodal puntos "en el centro" de la circunferencia. Estos puntos son exactamente los puntos que uno esperaría de un "punto focal" para ser, que son los puntos donde geodésica normal a la submanifold de acuerdo. Este hecho está muy bien explicado por la siguiente preposición:
La proposición. (M. P. Do Carmo, La Geometría De Riemann, 4.4)
El punto de $q\in M$ es un punto focal de $N\subset M$ si y sólo si es un valor crítico de el mapa de $\exp^{\perp}:(T_N)^{\perp}\to M$.
Aquí, el mapa de $\exp^{\perp}$ indica el mapa
$$
\exp^{\asesino}(p,v):=\exp_p(v),\qquad p\N,\ v\(T_{N,p})^{\asesino},
$$
donde $\exp$ es la exponencial mapa de $M$. Observe que $\exp^{\perp}$ es muy similar a $\exp$ ( $\dim(T_N)^{\perp}=\dim M$ ), con la diferencia de que el primero se mueve a lo largo de la submanifold. Desde este punto de vista se ve que los puntos focales son de hecho los punto en el que el mapa de $\exp^{\perp}$ es inyectiva ya no, y de allí hay más de una geodésica de intersección de ese punto.
¿Y el problema ahora?
Cuando estamos en el caso $\dim N =2$, $N\subset M=\mathbb{R}^3$ (asumir integridad por el bien de la simplicidad), el hecho de que la afirmación es verdadera, parece intuitivo: la fijación de un punto de $p$, los puntos focales asociados a ella son los centros de las esferas con una curvatura igual a uno de los principales curvaturas en $p$. Uno puede, a continuación, vincular el punto de $p$ con el primero (en una dirección) de los puntos focales $q$ a través de una normal geodésica (una línea) $c$ (digamos $c(0)=p$, $c(l)=q$). Ahora, para los valores de $t\in(0,l)$, las esferas con centro de $c(t)$ que incluyen el punto de $p$ tiene curvatura estrictamente mayor que la de los mayores principal de curvatura en $p$, y, por tanto, en un barrio de $p$ $N$ a que no hay puntos a una distancia menor de$c(t)$$p$.
Ahora, nos gustaría transponer esta línea de razonamiento a una arbitraria submanifold $N$ de un arbitrario colector $M$, sin embargo, que sería bastante difícil, ya que no tenemos la euclídea en $M$, y por lo tanto no podemos determinar la curvatura de una esfera geodésica (al menos, no tan fácilmente como en la distancia euclídea caso). Así, vamos a tomar otro camino.
Lo que queremos demostrar es que, dada una normal geodésica $c\colon[0,l]\to M$ como antes, cada curva de $\gamma(t)$ $\gamma(0)\in U$ $\gamma(l)=c(l)$ es más de $c$ donde $U$ es un barrio de $c(0)=p$$N$. Claramente, necesitamos comprobar que en el caso en que $\gamma$ es una geodésica. Así, se puede elegir un campo de Jacobi $X$ a lo largo de $c$ tal que
- $X(l)=0$,
- $X(0)\in T_{N,p}$,
- $g(X(0),X(0))=1$.
Esto es porque queremos que este Jacobi campo para ser asociado a una variación $H(s,t)=c_s(t)$ tal que $c_s(0)\in N$, definido por $s\in(-\epsilon,\epsilon)$, para algunas de las $\epsilon>0$. Deje $X_s(t)$ ser $d_{(s,t)}H\cdot\frac{\partial}{\partial s}$ ($X_0=X$).
Recuerdo ahora que, a partir de la segunda variación de la fórmula y dado que el $X\perp c'$, tenemos
$$
\begin{align*}
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}&=[g(\frac{\nabla}{ds}X_0(t),c_0'(t))]^l_0+\int^l_0g(X',X')-R(X,c',X,c')dt\\
&=-g(\frac{\nabla}{ds}X_0(0),c'(0))-g(X(0),X'(0)).
\end{align*}
$$
Sólo tenemos que demostrar que esto es positivo. En primer lugar, dado que el $X$ es un campo de Jacobi, $||X(0)||_g=1$$||X(l)||_g=0$,$X'(0)=-\frac{1}{l}X(0)$. Por lo tanto, tenemos
$$
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}=\frac{1}{l}-g(\frac{\nabla}{ds}X_0(0),c'(0)).
$$
Ahora, si $c(l)$ fueron un punto focal, nos gustaría decir que hemos
$$
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}=0,
$$
para que nos espera es la longitud de la geodesics a ser constante (o casi) en un barrio de $t=0$. Podemos demostrar que esto es cierto. Supongamos $c(\lambda)$ es el "primer" punto focal (si no hay ninguno podemos decir que $\lambda=+\infty$, que en las siguientes expresiones tiene su significado usual de un límite), entonces tenemos un campo de Jacobi $X$, al igual que en la definición, y podemos elegir el modo que $||X(0)||_g=1$. Entonces podemos ver que
\begin{align*}
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}&=-g(\frac{\nabla}{ds}X_0(0),c'_0(0))-g(X(0),X'(0))\\
&=-(\frac{\partial}{\partial s}g(X_s(0),c'_s(0))-g(X_0(0),\frac{\nabla}{ds}c'_s(0)))-g(X(0),X'(0)),
\end{align*}
pero a partir de la muy definiciones que tienen que $g(X_s(0),c'_s(0))=0$ por cada $s$, e $\frac{\nabla}{ds}c'_s(0))=-S_{c'(0)}(X(0))$. Por lo tanto,
$$
\frac{d^2}{dt^2}L(c_t)|_{t=0}=-g(X(0),X'(0)+S_{c'(0)}(X(0)))=0.
$$
Debido a esto, hemos
$$
g(\frac{\nabla}{ds}X_0(0),c'_0(0))=\frac{1}{\lambda}.
$$
Observe que este valor sólo depende de la estructura de la submanifold $N$ y el punto de $c(0)$, y no en el punto de $c(l)$. Así que tenemos (teniendo en cuenta la variación con respecto al $c(l)$)
$$
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}=\frac{1}{l}-\frac{1}{\lambda}
$$
y, por lo tanto,
$$
\frac{d^2}{ds^2}L(c_s)|_{s=0}>0\qquad\textrm{si }l<\lambda,
$$
lo que significa que en un barrio de $c(0)$ a lo largo de una curva no hay ninguna línea más corta a $c(l)$ de la línea geodésica $c$, ya que íbamos a probar. Por otra parte, podemos ver que esto no es cierto si $l\ge\lambda$. El uso de una compacidad argumento podemos ver que existe una vecindad de a $c(0)$ $N$ de manera tal que los resultados son válidos.
