El primer compuesto de números

Question

Deje $n>2$ un número natural. Podemos definir los siguientes conjuntos: $$S=\{1 \leq a \leq n : (a,n)=1, a^{n-1} \not\equiv 1\pmod n\} \\ T=\{1 \leq b \leq n : (b,n)=1, b^{n-1} \equiv 1 \pmod n\}$$

1. Hay números primos $n$ que $S \neq \varnothing$ ? Existen compuestos de números de $n$ que $S=\varnothing$ ? Explique.

2. Si $S \neq \varnothing$, muestran que $|S| \geq \frac{\phi(n)}{2}$.

   Sugerencia: Muestre que $T$ es un subgrub de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\star}$. Cual es el orden?

$$$$

Para la primera, para un primer $n$, de acuerdo con el teorema de Fermat tenemos que $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$, así que para todos los números primos se destaca que $S=\varnothing$, o no??

Me podrían dar algunos consejos para las otras preguntas??

Answer 1

La sugerencia se dice para demostrar que $T$ puede ser identificado con un subgrupo de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$, mediante el uso de los residuos de las clases.

A continuación, $T$ es un subgrupo porque, cuando se tiene un número finito de grupo abelian $G$, la $\{x\in G: x^k=1\}$ es un subgrupo para cualquier entero $k$.

El grupo $G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ orden $\varphi(n)$, lo $|T|$ es un divisor de $\varphi(n)$: $k|T|=\varphi(n)$. Desde $S=G\setminus T$ es por supuesto no vacío, podemos sacar una conclusión acerca de la $k$, por lo que...

Con respecto a la búsqueda de $n$ tal que $S\neq\emptyset$, probar con un pequeño número compuesto.