Cómo calcular la expectativa de $XY$?

Question

Supongamos que se me da la articulación pdf de $X$, $Y$, me piden hallar el $\operatorname{cov}(X,Y)$.

Sé que $\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ y sé cómo encontrar a $E(X)$$E(Y)$.

Mis preguntas son:

1. ¿Cuál es la definición de $E(XY)$? Es siempre igual a $$\int_{R\times R} xyf_X(x)f_Y(y)dxdy\,?$$ O sólo si $X$, $Y$ son independientes?(a partir de la respuesta que tengo, la solución que tengo no comprobar la independencia de $X$$Y$, y la respuesta $\operatorname{cov}(X,Y)$ no es cero, lo que demuestra $X$, $Y$ no son independientes).

2. Que yo recuerde, pero no muy claramente, que si el conjunto de pdf $X$, $Y$ $f_{X,Y}(x,y)$ puede ser escrito como $$f_{X,Y}(x,y)=g(x)h(y),$$ a continuación, $X$ $Y$ son independientes. Es siempre verdadera o necesita algunas condiciones? Quiero decir, supongamos que la región no es, digamos, $[0,1]\times[0,1]$, pero, digamos, $0<x<1,x<y<2x$, es que a decir verdad todavía?

Muchas gracias!

Answer 1

En general, para que conjuntamente continuo de variables aleatorias $X$ $Y$ con articulación pdf $f_{X,Y}(x,y)$, $$E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dx dy.$$ En el caso especial que se considerando, este se convierte en $$E[XY]=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty xyf_{X,Y}(x,y)dx dy.$$

Si $X$ $Y$ son conjuntamente continuo de las variables aleatorias conjuntas pdf $f_{X,Y}(x,y)$, e $f_{X,Y}(x,y)$ factores en el producto de la marginal de los pdfs $f_X(x)$$f_Y(y)$, $X$ $Y$ se dice para ser independiente de las variables aleatorias. Más útil es a la inversa implicación: si asumimos que el $X$ $Y$ son independientes aleatoria continua las variables con los conocido pdf (por ejemplo, normal estándar), entonces son conjuntamente continuo con la articulación pdf $f_{X,Y}(x,y)$ igual al producto $f_X(x)f_Y(y)$ de sus documentos pdf individuales.

Su expresión $\displaystyle E[XY] = \int_{R\times R} xyf_X(x)f_Y(y)dxdy$ es incorrecto en el caso general, pero es correcto al $X$ $Y$ son independientes continuo de variables aleatoriasdesde $f_{X,Y}=f_X(x)f_Y(y)$ en este caso. De hecho, si su expresión se correcto en general, entonces tendríamos $$E[XY] = \int_{R\times R} xyf_X(x)f_Y(y)dxdy = \int_{R} xf_X(x)dx \int_{R} yf_Y(y)dy = E[X]E[Y]$$ de modo que $\text{cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] = 0$ para todas las variables aleatorias, que claramente no es cierto. Así tenemos los siguientes.

Si $X$ $Y$ son variables aleatorias independientes, entonces $E[XY]=E[X]E[Y]$.

Tenga en cuenta que esto es válido para todas las variables aleatorias, no sólo continua variables aleatorias. También, como usted probablemente sabe, el recíproco no es cierto: no aleatoria de las variables no necesitan ser independientes.

Con respecto a su segunda pregunta, $X$ $Y$ son independientes si usted puede encontrar $g(x)$ $h(y)$ de manera tal que la igualdad de $f_{X,Y}(x,y)=g(x)h(y)$ mantiene en todos los puntos de $(x,y)$ en el avión, y no sólo en algunos puntos. Si la articulación pdf es distinto de cero sólo para$0<x<1,x<y<2x$, $X$ $Y$ son dependientes de variables aleatorias; no hay necesidad de probar y ver si puede expresar $f(x,y)$$g(x)h(y)$.

Por último, tenga en cuenta que todo lo anterior se aplica siempre y cuando los distintos integrales y las expectativas se definen o existir. $E[XY]=E[X]E[Y]$ no aplica independiente de Cauchy variables aleatorias, por ejemplo, debido a $E[X]$ $E[Y]$ no están definidos por Cauchy variables aleatorias $X$$Y$.