¿Qué es $0^0$, en el ordinal exponenciación?

Question

Un alumno mío me señaló que si definimos el ordinal exponenciación de la forma usual (por recursión), luego tenemos a $0^0=1$ (lo cual está bien), y por lo tanto $$ 0^\omega=\sup\{0^n:n<\omega\}=1, $$ en lugar de la esperada respuesta $0$.

¿Qué tienen en común la resolución de este problema?

Answer 1

Usted probablemente sólo necesita definir $0^\omega$ como el "límite" de la $0^n$$n < \omega$, en lugar de sólo el supremum. O usted puede definir $0^\beta$ como un caso especial en la definición de la exponenciación.

Para cualquier ordinal $\alpha$ otros de $0$, la secuencia de $\alpha^n$ está aumentando, por lo que el límite de la secuencia es su sup. Pero, por supuesto, para$\alpha = 0$, se obtiene una disminución de la secuencia $(1, 0, 0, 0\dots)$ y su límite es su mínimo, que es $0$.

Answer 2

De hecho, no es este truco/idea general que es a menudo descuidado, pero es muy útil en este caso.

Veamos suma primero: en lugar de separar los tres casos de no-cero límite de los números ordinales, sucesor de los números ordinales y las $0$, podemos definir a la $$\alpha+\beta:=\begin{cases} \alpha&\text{if }\beta=0\\ \sup\left\{(\alpha+\gamma)^+\,:\,\gamma<\beta\right\}&\text{if }\beta\ne0\end{cases}$$ en sólo dos casos.

A menudo, estas construcciones como esto:

1. definir el caso de $g(0)$

2. construcción $g(\beta^+)$ en términos de $g(\beta)$

3. tomar el "límite de $\gamma\to\beta$" $g(\gamma)$ para el límite de los números ordinales

4. (opcional) realizar, en retrospectiva, de que le estaban tomando el límite de $g(\gamma^+)$ a lo largo de todos, y que este enfoque es en realidad integral de la $g(\beta^+)$.

Para el ejemplo concreto, puedes usar el truco

$$\alpha^\beta=\begin{cases}1&\text{if }\beta=0\\ \sup\left\{\alpha^\gamma\cdot\alpha\,:\,\gamma<\beta\right\}&\text{if }\beta\ne 0\end{cases}$$

Aunque estoy de acuerdo en que la introducción de una noción de $\limsup\limits_{\gamma\to\beta}:=\min\limits_{\gamma<\beta}\sup\limits_{\gamma\le\delta<\beta}$ podría ser útil en el gran esquema de las cosas.