La motivación detrás de la definición de Zariski el espacio de la tangente

Question

Intuitivamente pienso en el espacio de la tangente en un punto como el conjunto de todos los puntos de la mentira en el plano tangente que pasa throug ese punto.

Aquí está la definición de Zariski el espacio de la tangente

Sea X una variedad algebraica. y $p \in X$. El espacio de la tangente de $X$ a punto de $p$ se define como $$T_pX= Der_k(O_{X,p}.k)$$

¿Cómo funciona la definición anterior coincide con mi intuición? O más específicamente, ¿alguien puede dar una correspondencia entre $T_pX$ y el conjunto de todos los puntos de la mentira en el plano tangente que pasa a través de $p$?

Answer 1

El espacio de la tangente en $p$ es el espacio de todas las direcciones en que se puede tomar una derivada direccional en $p$. Cualquiera que sea direccional de derivados", es decir, que sólo debe depender de la germinales en $p$, por lo que es una función en $\mathcal{O}_{X, p}$. Y debe ser lineal y obedecer la regla de Leibniz, así que es una derivación. Estas condiciones resultan ser suficiente para dar una noción de espacio de la tangente que está de acuerdo con la intuición (por ejemplo, usted puede calcular el Zariski el espacio de la tangente a una variedad corta por varios polinomios y será la cosa que creo que es).

Answer 2

El primer uso GAGA para pasar a los complejos colectores. A continuación, el uso de cambio de base para pasar a un real colector....Ahora bien, dado cualquier liso incrustación de objetos (uso el Whitney incrustación teorema) de su colector en el espacio Euclidiano, suponga que la tangente a la superficie en p existe y hace todo lo que usted desea. El uno-a-uno la correspondencia de pedir, que no fue dado por la otra respuesta, es:

Dado un vector a partir de p y acostado en la tangente de la superficie, considere la posibilidad de la línea geodésica acostado en su colector, que pasa por p, y cuyo vector tangente en el habitual sentido Euclidiano es el vector dado. Problema: definir una derivación del espacio de gérmenes de funciones en el colector en p. Sugerencia: Primero extender su función a la totalidad del espacio ambiente, sin problemas. A continuación, utilice el ordinario de la derivada direccional.
Comentario: esto no es canónica, pero no se puede pedir para un isomorfismo canónico.

Segunda observación: no se especifica si el campo tiene la característica cero o no...supongo que no. Tercera observación: lo que escribió no es en realidad la definición de la Zariski el espacio de la tangente. La definición de la Zariski el espacio de la tangente es $m_p/m_p^2$ donde $m_p$ es el ideal de todas las funciones algebraicas que se desvanecen en el p.