¿Cuál es la diferencia entre x(P(x)) y xP(x)?

Question

Edición: ¡Cambió lógicamente equivalente a lógicamente implica! Perdón. También me di cuenta de que quitar el contexto cuando se trata de entender algo es una mala idea.

Acabo de empezar a aprender lógica de predicados.

Lo que intento demostrar es que xy( P(x)->Q(y) ) es lógicamente Implica a ( xP(x) ) -> ( yQ(y) ) .

Sé que xy( P(x)->Q(y) ) se satisface siempre que P(x) sea falsa o Q(y) sea verdadera (basándose en la tabla de verdad de los implicados).

Y ( xP(x) ) -> ( yQ(y) ) se satisface siempre que ( xP(x) ) es falso o ( yQ(y) ) es cierto.

Pero necesito entender mejor la diferencia entre x(P(x)) y xP(x) .

Pregunta 1: ¿Qué es lo que x(P(x)) ¿quieres decir? Lo que yo pensaba es que significa "para cualquier elemento x en el dominio, P(x) es verdadera". ¿No significa esto x(P(x)) ¿está siempre satisfecho?

Pregunta 2: ¿Qué hace xP(x) ¿quieres decir? Pensaba que esto también significa "para cualquier elemento x en el dominio, P(x) es verdadera".

Nota: Me han dado la respuesta a esta prueba, y dice que xy( P(x)->Q(y) ) se satisface cuando "para cualquier elemento x, P(x) se falsifica" y ( xP(x) ) -> ( yQ(y) ) se satisface cuando "para algún elemento x, P(x) se falsifica".

Pero, como se ha dicho, me cuesta entender qué significan las fórmulas y en qué se diferencian.

Answer 1

Me temo que aquí hay bastante confusión. Así que permítanme tratar no sólo sus dos preguntas reales, sino también algunas otras cuestiones que veo aquí.

[1] En general, los paréntesis en las expresiones lógicas se utilizan de la misma manera y con el mismo propósito que en las expresiones aritméticas: para mostrar el orden de las operaciones, o por así decirlo, para mostrar qué cosas van juntas y cuáles no. Así que la respuesta a la pregunta de tu título:

¿Cuál es la diferencia entre $\forall x(P(x))$ y $\forall xP(x)$ ?

es que no hay ninguna diferencia, ya que significan exactamente lo mismo: para todos los valores de $x$ (en el dominio o universo dado) $P(x)$ es cierto. (Tenga en cuenta que esto también cubre sus preguntas 1 y 2.) Pero...

[2] ¡¡¡Sacar las cosas de contexto es extremadamente peligroso!!! Si alguien te pregunta:

¿Cuál es la diferencia entre $2+3$ y $(2+3)$ ?

cualquiera dirá que son la misma cosa, ambas iguales a $5$ ... Hasta que resulta que fueron tomadas de expresiones más largas $\color{green}{2+3\cdot4}$ y $\color{blue}{(2+3)\cdot4}$ donde la presencia o ausencia de paréntesis marca una gran diferencia.

[3] Y por eso la pregunta real en el cuerpo de tu post apenas tiene que ver con lo que preguntabas en el título. Según tu post, estás

tratando de probar es que $\forall x\, \exists y\, (P(x)\to Q(y))$ es lógicamente equivalente a $(\forall x\, P(x))\to(\exists y\,Q(y))$ .

Tenga en cuenta que mientras $\forall xP(x)$ es el antecedente de la segunda fórmula, $\forall x(P(x))$ no aparece en ninguna de ellas. Así que cuando lo usaste en el título, ¿de dónde salió?

[4] Además, estas dos afirmaciones son en realidad NO equivalentes entre sí. He aquí un rápido contraejemplo. Sea el dominio todos los enteros $\mathbb{Z}$ . Sea

$$P(x)=[x\text{ is even}] \quad \text{and} \quad Q(y)=[y+1<y].$$

(Estoy usando los paréntesis como comillas.) Entonces:

• $\forall x\, \exists y\, (P(x)\to Q(y))$ es falso . Requiere que para cualquier $x$ existe algún $y$ tal que $P(x)\to Q(y)$ . Pero si $x=2$ entonces $P(2)\to Q(y)$ no es válida para cualquier $y$ porque $P(2)$ es verdadera y $Q(y)$ es falso para cualquier $y$ .

• Pero $(\forall x\, P(x))\to(\exists y\,Q(y))$ es verdadero porque el antecedente $\forall x\, P(x)$ es falso.

Así que si te han dado un ejercicio en el que se dan dos enunciados y tu tarea es demostrar que son lógicamente equivalentes, entonces tal vez hayas cometido un error tipográfico en alguna parte.

Answer 2

Parece que tienes los dos casos diferentes i) $\forall x, P (x) \rightarrow \exists y: Q (y)$ y ii) $(\forall x, P (x))\rightarrow \exists y:Q (y)$ . Son claramente diferentes, ya que el si partes son diferentes (tienen diferentes definiciones de valor de verdad). En general $P (x) $ siendo cierto para todo x es diferentes que para todo x, si $P (x) $ es cierto, entonces tal y tal. La primera condición es falsa cuando $\exists x:P (x)$ es falso. Pero en este caso, puede haber otro x tal que P (x) sea verdadero. Por lo tanto, en ii), la condicional es verdadera porque su parte if es falsa. En i), todavía hay que comprobar si cuando $P (x) $ es verdadera, la conclusión $(\exists y:Q (y))$ es falso o no... Corrección Sí, he visto tu edición, no son equivalentes. ..en la situación a la que me refería ii) puede ser verdadera mientras que i) es falsa

Answer 3

Tal vez algunos paréntesis adicionales ayuden. Pero su comentario me hace pensar que una cosa más sería útil: el seguimiento de cuando una variable depende de otra. Una de tus frases tiene una dependencia y la otra no, así que esta es otra forma de ver que podría haber alguna diferencia entre ellas.

La sentencia $$ \forall x \exists y \left( \strut{} P(x) \implies Q(y) \right)$$ podría ponerse adicionalmente entre paréntesis como $$ \forall x \left( \strut{} \exists y \left( \strut{} P(x) \implies Q(y) \right) \right) \text{.}$$ Utilicemos subíndices para indicar la dependencia, por ejemplo " $y_x$ " significa que la elección de $y$ depende de la elección de $x$ (en el sentido de que una elección diferente de $x$ podría requerir una elección diferente de $y$ . Obsérvese que " $\exists y (\dots)$ " aparece dentro de la cuantificación universal de $x$ . Esto significa que para cada elección de $x$ existe algún $y$ (quizás dependiendo de $x$ ) tal que ... . Así que tenemos $$ \forall x (\exists y_x ( P(x) \implies Q(y_x) )) \text{.}$$ En palabras: para cualquier $x$ en absoluto, existe un $y$ (quizás dependiendo de $x$ ) tal que $P(x)$ ser cierto implica $Q(y)$ también es cierto.

Su otra frase es $$(\forall x P(x)) \implies (\exists y Q(y))$$ que podríamos poner adicionalmente entre paréntesis como $$(\forall x (P(x))) \implies (\exists y (Q(y))) \text{.}$$ Pero esta vez, la elección de $y$ no puede depender de $x$ porque " $\exists y$ " no aparece en la subexpresión elíptica de " $\forall x (\dots)$ ". Es decir, no hay relación entre las variables $x$ y $y$ . En palabras: si $P(x)$ resulta ser cierto para cualquier elección posible de $x$ entonces hay al menos una opción de $y$ haciendo $Q(y)$ Es cierto.

Answer 4

¿Cuál es la diferencia entre ∀x(P(x)) y ∀xP(x)?

∀x(P(x)) puede sólo se puede analizar como (∀x)(P(x)). ∀xP(x) puede analizarse de la misma manera,
pero si x es booleano , entonces ∀xP(x) también podría analizarse como (∀xP)(x).
Si el dominio del discurso para xP es vacío, entonces (∀xP)(x) es verdadero
independientemente de si x es verdadera o no, si no (∀xP)(x) es equivalente a x.

Pregunta 1: ¿Qué es lo que ∀x(P(x)) ¿quieres decir? Lo que yo pensaba era
que significa "para cualquier elemento x en el dominio, P(x) es verdadera".
¿No significa esto que ∀x(P(x)) ¿está siempre satisfecho?

Significa "para todo elemento x en el dominio, P(x) es verdadera" .
Si P está definido por P(x) si y sólo si x = 0 y 1 está en el dominio, entonces ∀x(P(x)) es falso.
En matemáticas, "cualquiera" sí corresponde más a menudo a ∀ que a ∃, pero usándolo como un cuantificador
me molesta, ya que "cualquier" puede ser fácilmente la palabra natural cuando se pretende ∃:

¿Tiene f alguna discontinuidad?

¿Es esto suficiente para la cosa0?
No.
¿Es esto suficiente para thing1?
No.
...
¿Es esto suficiente para la cosa5?
No.
[¿Es esto suficiente para alguno de ellos?

Pregunta 2: ¿Qué hace ∀xP(x) ¿quieres decir? Pensaba que esto también significa "para cualquier elemento x en el dominio, P(x) es verdadera".

Si ∀xP(x) se analiza como (∀x)P(x) entonces se aplica mi respuesta a la pregunta 1. Si ∀xP(x) se analiza
como (∀xP)(x) entonces significa "para cada elemento xP en el dominio del discurso para xP, x es verdadero" .