$X$ ser un compacto Hausdorff espacio que $\dim$ $C(X,\mathbb{R})<\infty$ debemos mostrarles a $|X|<\infty$, debo decir que no tengo idea de cómo demostrar este resultado. por favor, ayudar. Gracias!
Respuesta
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Deje $N$ ser la dimensión de la $C(X,\Bbb R)$. Asumir que no se $N+1$ distintos puntos de $x_1,\dots,x_{N+1}$$X$. Como $X$ es compacto y Hausdorff es normal, por lo tanto, por el Urysohn lema, podemos encontrar para cada una de las $j$ una función continua $g_j\colon X\to\Bbb R$ tal que $g_j(x_k)=0$ al$k\neq j$$g_j(x_j)=1$.
La familia $\{g_j,1\leqslant j\leqslant N+1\}$ es necesariamente linealmente dependiente, por lo que podemos asumir que $g_{N+1}=\sum_{j=1}^Ng_j$. La evaluación de esta igualdad en $x_{N+1}$ produce una contradicción.
Esto demuestra que $\dim C(X,\Bbb R)=\operatorname{card}(X)$.
El resultado no es necesariamente cierto cuando $X$ no se considera Hausdorff. Por ejemplo, tome $X$ un conjunto infinito con la topología $\{\emptyset,X\}$. Las únicas funciones continuas son constantes.
