La determinación de la geometría de un segmento de arco a partir de dos puntos conocidos y una curvatura

Question

Versión corta: ¿Cómo puedo determinar el perfil del segmento de arco a partir de dos puntos conocidos y la curvatura del arco?

Versión larga: Como una introducción a la modelización de la co-rotación de doble tornillo extrusora estoy tratando de aprender cómo los perfiles de los tornillos se determinan. Para aquellos de ustedes que no saben, doble-extrusoras son máquinas que tienen dos tornillos entrelazados de tal manera que la acción de un vuelo de un tornillo limpia la raíz de los otros tornillos alternativamente. La imagen de abajo muestra el contacto del tornillo (a la izquierda) y la auto-acción de limpieza en un frontview perspectiva (derecha):

Para esta acción de limpieza, el tornillo necesidades de la geometría especial determinado por un conjunto especial de reglas.

En el análisis que estoy siguiendo La geometría de la auto-limpieza de doble tornillo extrusora de C. Rauwendaal. El básico de las propiedades geométricas del barril:

donde $\alpha_i$ es el entrelazan ángulo, $I_h$ es el entrelazan altura, $C_l$ es la línea central de la distancia y, finalmente, $D$ $D_r$ son el tornillo y el diámetro de la raíz, respectivamente. Para un determinado diámetro del tornillo $D$, estos están relacionados a través de algunas consideraciones geométricas: $$\frac{C_l}{D}=\cos\left(\frac{\alpha_i}{2}\right) \qquad \frac{I_h}{D} = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}\alpha_i\right) \qquad \frac{D_r}{D} = 2\frac{C_l}{D}-1$$ lo que básicamente implica que elegir un entrelazan ángulo de $\alpha_i$ correcciones de la línea central de la distancia de $C_l$, el entrelazan altura $I_h$ y el diámetro de la raíz $D_r$.

Debido a la simetría sólo una cuarta parte de un tornillo necesita ser examinado. Un trimestre más es divisible en tres secciones:

1. la punta -> $0<\alpha\leq\alpha_t/2$,
2. el flanco -> $\alpha_t/2<\alpha\leq\alpha_t/2+\alpha_f$
3. la raíz -> $\alpha_t/2+\alpha_f<\alpha\leq\alpha_t/2+\alpha_f+\alpha_r/2$

donde $\alpha$ es el ángulo desde la horizontal, $\alpha_t$ es el ángulo de la punta, $\alpha_f$ es el ángulo de flanco, $\alpha_r$ es la raíz del ángulo. Como los dos tornillos de la misma forma en sección transversal, la raíz del ángulo debe ser igual al ángulo de la punta. Además, la suma del ángulo de la punta de la raíz del ángulo y ángulo de flanco debe ser: $$\frac{\alpha_r}{2}+\alpha_f+\frac{\alpha_t}{2}=\frac{\pi}{2}$$ Dado el supuesto de $\alpha_r=\alpha_t$ como se mencionó anteriormente, este rendimientos para el ángulo de la punta: $$\alpha_t=\frac{\pi}{2}-\alpha_f$$

Para el caso de co-rotación de los tornillos, es que dado que el ángulo de flanco tiene que ser igual al que se entrelazan ángulo, es decir,$\alpha_f = \alpha_i$. De ello se sigue, a continuación, el ángulo de la punta del $\alpha_t$ y la raíz del ángulo de $\alpha_r$.

Después de haber decidido que todas estas propiedades geométricas, ahora me gustaría ser capaz de reconstruir el perfil del tornillo. Tomando el centro del tornillo como el origen $O$, la raíz y la punta del tornillo son fáciles de describir, como lo han constante radios con respecto a $O$. Sin embargo, en el área del flanco con respecto a $O$ tiene un radio variable que oscila de $\frac{D_r}{2}$ en la raíz del ángulo de a $\frac{D}{2}$ en el ángulo de la punta. En otras palabras:

$$r = \begin{cases} \frac{D}{2} & 0\leq\alpha<\frac{1}{2}\alpha_{t}\\ R\left(\alpha\right) & \frac{1}{2}\alpha_{t}\leq\alpha<\frac{1}{2}\alpha_{t}+\alpha_{f}\\ \frac{D_{r}}{2} & \frac{1}{2}\alpha_{t}+\alpha_{f}\leq\alpha<\frac{1}{2}\alpha_{t}+\alpha_{f}+\frac{1}{2}\alpha_{r} \end{casos}$$

Sin embargo, en el artículo se da cuenta que la forma de los flancos es determinado por un arco de un círculo (con un diferente origen desconocido $C$) con un radio de $C_l$.

Lo que me gustaría saber es cómo puedo determinar el perfil descrito por $R\left(\alpha\right)$ que es básicamente un segmento de arco entre dos puntos (es decir,$[r,\alpha]=[D/2, \alpha_t/2]$$[r,\alpha]=[D_r/2, \alpha_t/2+\alpha_f]$) con conocidos curvatura (radio de $C_l$)?

Actualización: La respuesta de @ja27 da una buena y fácil geométrica del método de construir el arco en cuestión:

Sin embargo, como se indicó en la pregunta (aunque tal vez no con la suficiente claridad), me gustaría ser para describir el segmento de arco en términos de origen $O$ y el ángulo de $\alpha$ a través de la función $R(\alpha)$, en lugar del origen $C$ y el ángulo de $\theta$.

Answer 1

Tomar los dos puntos finales de Un y B como un segmento de línea y encontrar la mediatriz. El centro del arco va a ser en esta línea. Ahora encontrar el punto de la línea a una distancia de $r$ (el radio) desde el punto final.

• Usted puede encontrar la distancia a $ m = \frac{1}{2} \| AB \| $ y, a continuación, la distancia $d = \sqrt{r^2-m^2}$ encontrar el punto C.

• O usted puede encontrar el ángulo de $\theta = \sin^{-1} \frac{m}{r}$ y, a continuación, establezca $d = r \cos \theta$.

Edición 1

Creo que la pregunta pide a encontrar la roja distancia $r$ y el ángulo de $\theta$ por debajo de la azul $R$$\varphi$:

Estos se encuentran con un poco de trigonometría como

$$ \begin{aligned} r \sin \theta & = R \sin \varphi \\ r_O + r \cos\theta &= R \cos \varphi \end{aligned} \Rightarrow \begin{aligned} r &= \sqrt{ R^2+r_O^2-2 R r_O \cos \varphi} \\ \theta & = \tan^{-1} \left( \frac{R \sin \varphi}{R \cos\varphi -r_O} \right) \end{aligned} $$

donde $r_O$ es el radio del círculo exterior. El radio de arco es $R=r_O+r_I$ resulta que (creo).