Sobre la continuidad de la integral de Riemann

Question

Tengo la siguiente ecuación

$$g(y)=\int_{0}^{\infty} f(x,y) dx$$

Sé que $f$ es continua en $x$ y $y$ . Pero me gustaría deducir que $g$ es continua en $y$ . ¿Puedo hacerlo?

EDITAR:

No voy a escribir la función aquí, ya que es enorme, pero puedo garantizarlo:

$f$ es diferenciable en ambos $x$ y $y$

$\lim_{y\rightarrow \infty} f(x,y) = \infty$

Podría intentar resolver la integral, pero no sé si soy capaz. Aplicar algún teorema que garantice la continuidad sería genial, pero ahora veo que necesitaría más hipótesis.

Answer 1

Contraejemplo sin más hipótesis: $$ f(x,y)=\begin{cases}ye^{-xy}&y>0,\\0&y\le0.\end{cases} $$ Then $$ g(y)=\begin{cases}1&y>0,\\0&y\le0.\end{cases} $$