¿Cómo debo probar que un conjunto es convexo?

Question

Dado un conjunto $$ \mathbf{S} = \{ \mathbf{x}\:|\: \mathbf{x}^T\mathbf{V}\mathbf{x}=1 \} $$ where $\mathbf{V}$ es positivo semidefinite de la matriz. Cómo probar que este conjunto es convexo?

He intentado de la siguiente manera:

En primer lugar, vamos a $\mathbf{x_1}$ $\mathbf{x_2}$ son dos elementos de la $\mathbf{S}$. Llego $\mathbf{x_1}^T\mathbf{V}\mathbf{x_1} = 1$$\mathbf{x_2}^T\mathbf{V}\mathbf{x_2} = 1$.

Segundo, intentar una derivación de $\mathbf{x_3}^T\mathbf{V}\mathbf{x_3} = 1$, donde$\mathbf{x_3}$$t\mathbf{x_1}+(1-t)\mathbf{x_2}$.

Lo que tengo es :

$$t^2+(1-t)^2+t(1-t)(\mathbf{x_2}^T\mathbf{V}\mathbf{x_1} + \mathbf{x_1})^T\mathbf{V}\mathbf{x_2}$$

donde no tengo cómo demostrar esta derivada es igual a 1.

Answer 1

Muchos autores permitir que el conjunto vacío para ser convexa como vacuously la satisfacción de la definición. El único caso en el que el conjunto de $S$ podría decirse que es convexo es este, donde "positiva semi-definida la matriz" $V$ es cero.

De lo contrario, el conjunto de $S$ es no vacío, y cualquier $x \in S$ necesariamente debe ser distinto de cero. Pero como los anteriores comentaristas señalan, a continuación, $-x \in S$ y convexidad requiere de $0 \in S$. Contradicción.

Answer 2

Vamos $$ B:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\ B(x,y)=x^TVy,\ Q:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\ Q(x)=B(x,x). $$ También vamos a definir $$ \nu: X:=\mathbb{R}^n\setminus P^{-1}(0) \to \mathbb{R}^n\ \nu(x)=\frac{x}{\sqrt{Q(x)}}. $$ A continuación,$S=Q^{-1}(1)$, y para cada $x \in X$ hemos $$ Q(\nu(x))=(\nu(x))^TV\nu(x)=\frac{x^TVx}{Q(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}=1, $$ es decir,$\nu(X) \subset S$.

Para cada $x,y \in X$ $B(x,y)\ne \sqrt{Q(x)Q(y)}$ (por ejemplo, para $B(x,y) \le 0$), y cada una de las $t \in [0,1]$ hemos \begin{eqnarray} Q((1-t)\nu(x)+t\nu(y))&=&(1-t)^2Q(\nu(x))+2t(1-t)B(\nu(x),\nu(y))+t^2Q(\nu(y))\\ &=&t^2+(1-t)^2+2t(1-t)\frac{B(x,y)}{\sqrt{Q(x)Q(y)}}. \end{eqnarray} Por lo tanto $$ P((1-t)\nu(x)+t\nu(y))=1 \ffi \frac{B(x,y)}{\sqrt{Q(x)Q(y)}}=1 \iff B(x,y)=\sqrt{Q(x)Q(y)}. $$ Por lo tanto $S$ no es convexo