La comparación de sus gráficos y las definiciones de los ángulos hiperbólicos parecen sugerir que, aparte de la $\sqrt{2}$ factor:
y:
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Hagen von Eitzen
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Anthony Shaw
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Convertir $$ x^2-y^2=1 $$ a coordenadas polares con $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ y sustituyendo $\theta=\phi-\frac\pi4$ : $$ \begin{align} 1 &=r^2\left(\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\right)\\ &=r^2\cos(2\theta)\\ &=r^2\cos(2\phi-\tfrac\pi2)\\ &=r^2\sin(2\phi)\\ &=2r^2\sin(\phi)\cos(\phi)\\ &=2uv \end{align} $$ donde $u=r\cos(\phi)$ y $v=r\sin(\phi)$ . Por lo tanto, la rotación $x^2-y^2=1$ por $45^\circ$ da $uv=\frac12$ .
jlupolt
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Escríbelo en coordenadas polares: $$x^2 - y^2 = 1 \ \to \ r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) r^2 = r^2\cos(2\theta) = 1$$ $$xy=1 \ \to \ r^2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}r^2\sin(2\theta) =1$$ O: $$\frac{1}{2}r^2\sin(2\theta)=\frac{1}{2}r^2\cos(2(\theta + 45^\circ))=\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^2\cos(2(\theta + 45^\circ))$$
Por lo tanto, usted ve que $y=1/x$ es efectivamente una copia rotada, hasta un factor multiplicativo .
Hipérbola rectangular con asíntotas horizontales/verticales (coordenadas cartesianas)
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
Las asíntotas de una hipérbola se pueden escribir: $y=\frac ba$ y $y=-\frac{b}{a}$ donde $b$ es el semieje menor y $a$ es el semieje mayor. Obsérvese que este dibujo es inexacto: (2,0) debería tocar la hipérbola en el vértice.
El eje semimayor " $a$ "de una hipérbola centrada en el origen es la distancia del origen al vértice. El vértice es el punto de la hipérbola más cercano a los focos, que en el caso de $y=\frac 1x$ está en la intersección con $y=x$ en $(x=1,y=1)$ que forma el triángulo $1^2+1^2=a^2$ que resolvió para $a$ se puede encontrar en $a=\sqrt{2}$
Hipérbolas rectangulares con los ejes de coordenadas paralelos a sus asíntotas como $y=\tfrac{1}{x}$ tienen la ecuación : $(x-h)(y-k) = m \, \, \, $ .
Se trata de hipérbolas equiláteras (excentricidad $\varepsilon = \sqrt 2$ ) con el semieje mayor y el semieje menor dados por $a=b=\sqrt{2m}$ .
El ejemplo más sencillo de hipérbolas rectangulares ocurre cuando el centro (''h'', ''k'') está en el origen: : $y=\frac{m}{x}\, $ describiendo cantidades ''x'' e ''y'' que son inversamente proporcionales. Girando los ejes de coordenadas 45 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, con los nuevos ejes de coordenadas etiquetados (x',y') la ecuación de la hipérbola viene dada por la forma canónica : $$\frac{(x')^2}{(\sqrt{2m})^2}-\frac{(y')^2}{(\sqrt{2m})^2}=1$$
Girando $\frac 1x$ $-45^\circ$ mantiene la hipérbola con un semieje mayor de $\sqrt{2}$ pero $\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$ tiene un semieje mayor de longitud 1.
Multiplicando ambos lados de: $$\frac{(x')^2}{(\sqrt{2m})^2}-\frac{(y')^2}{(\sqrt{2m})^2}=1$$ por dos no convierte la muestra rotada en la hipérbola deseada de $a=1$ porque con el 2 a la derecha $a$ todavía es igual a $\sqrt{2}$ . Este factor simplemente tiene que cambiarse de 2 a 1.
