Necesito calcular explícitamente la normalización de una singular curva algebraica $C$, que está dada por una ecuación explícita en $\mathbb{A}^2$. Esta tarea es principalmente reduce a encontrar la integral de cierre de $\tilde{A}$ de la función regular el anillo de $A := \mathcal{O}_C(C)$ en el campo de función $k(C)$, y luego tomar la normalización $\tilde{C}$ a ser la variedad cuyo anillo de funciones regulares es $\tilde{A}$.
Uno de los aspectos del problema que me molesta un poco es el caso cuando se $A$ tiene divisores de cero y cálculos en el campo de las fracciones se convierten sustancialmente menos intuitiva. Por ejemplo, si $C$ está dado por $x^2 = y^2$, es intuitivamente claro que la normalización es un discontinuo de la unión de dos líneas, pero derivando esto a través de la construcción explícita siente algo resbaladizo en una serie de puntos. Por lo tanto, me gustaría preguntar lo siguiente:
- Se siente natural que $\pi : \tilde{C} \to C$ debe ser la normalización tan pronto como el siguiente:se
- $\tilde{C}$ es normal variedad, $\pi$ es una de morfismos.
- $\pi$ es un isomorfismo de distancia de los puntos singulares.
¿Este criterio de espera, o me estoy perdiendo algo aquí? Si sí, entonces una forma práctica de encontrar la normalización puede ser la de hacer una conjetura acerca de lo que debe ser, y, a continuación, la verificación es casi inmediata.
(La definición "oficial" de la normalización requiere que $\pi$ debe ser de un número finito de morfismos y se debe inducir el isomorfismo de la función de los campos de $ k(C) \to k(\tilde{C})$. )
¿Cuáles son las dificultades técnicas y las trampas en el uso de la "norma" procedimiento de búsqueda de la normalización, en el caso de $C$ es el cero, el locus de un polinomio irreductible (si alguna)?
Es cierto en general que si $C$ es una suma de curvas irreducibles $C_i$, cuya normalizaciones se $\tilde{C}_i$, $\tilde{C}$ es distinto de la suma de $\tilde{C_i}$? (Creo que debería seguir inmediatamente a partir de las definiciones, pero podría faltar algo)
