Demuestra que esta matriz tiene un orden infinito

Question

Considera la matriz:

$M = \begin{pmatrix} 8&-3\\ 3&-1 \end{pmatrix}$

¿Cuáles son las formas de mostrar $M$ tiene un orden infinito? Supongo que una es encontrar una forma cerrada para las potencias de $M$ Pero, ¿hay una forma más elegante?

Answer 1

Un enfoque es calcular los valores propios. Escribiendo la ecuación característica, $\lambda^2 - 7 \lambda + 1 = 0$ encontramos los valores propios $$ \lambda_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} . $$ Comprueba que $0 < \lambda_2 < 1 < \lambda_1$ .

La matriz $A^n$ tiene valores propios $\lambda_1^n$ y $\lambda_2^n$ . Para cualquier $n \geqslant 1$ tenemos $0 < \lambda_2^n < 1 < \lambda_1^n$ en particular, $A^n$ no puede ser la matriz identidad.

Answer 2

El rastro de $M$ (que es igual a la suma de los valores propios) es $7$ lo que significa que sus dos valores propios no pueden ser ambos raíces de la unidad (ya que una raíz compleja de la unidad tiene norma compleja $1$ la suma de dos raíces complejas de la unidad tiene norma menor o igual a $2$ ).

Pero si $M^k = I$ entonces $M$ satisface el polinomio $x^k-1$ lo que significa que el polinomio mínimo de $M$ divide $x^k-1$ . Dado que las raíces del polinomio mínimo son los valores propios (complejos) de $M$ una condición necesaria para $M$ para tener un orden finito es que sus valores propios sean raíces complejas de la unidad. Como este no es el caso, $M$ no puede tener un orden finito.