Formas equivalentes de otros axiomas de ZFC?

Question

He escuchado este chiste produce alrededor de:

El Axioma de Elección es obviamente verdadero, el principio de orden es obviamente falso, y que puede adivinar sobre el lema de Zorn?

Por supuesto, todos los tres enunciados son equivalentes. Hay no trivial de las reformulaciones de cualquiera de los otros axiomas de ZFC?

Answer 1

Una interesante reformulación de ZF utiliza niveles (los niveles de la jerarquía de Von Neumann, en realidad). Hemos de variables de dos tipos: los conjuntos de ($x$,$y$,...) y los niveles de ($V$, $V'$,...). Puede comprobarse que la ZF es equivalente a Extensionality, la Separación, el Infinito, la Sustitución y la:

Acumulación: $$\forall V'\forall x[x\in V'\iff\exists V\in V'(x\in V\vee x\subset V)].$$

Restricción: $$\forall x\exists V(x\subset V).$$

(ejercicio 3.11.9 de la Teoría de conjuntos por Frank Drake)

Answer 2

Seguro que, como muchos como usted desea. Por ejemplo:

• En relación a los otros axiomas de la $\operatorname{ZFC}$, el axioma esquema de reemplazo y el axioma esquema de la colección son equivalentes. Sin embargo, esto no es cierto, cuando deje el poder conjunto de axiomas.
• $\operatorname{ZFC}$ es equivalente a $\operatorname{ZFC}^0$, en donde éste no permitir que los parámetros en sus esquemas de axioma. Vea aquí.
• Hay, en relación a los otros axiomas de la $\operatorname{ZFC}$, muchos equivalente formulaciones de el axioma de infinitud, por ejemplo, "$V_{\omega}$ existe".
• La costumbre de la formulación de $\operatorname{ZFC}$ es redundante. Por lo tanto, puede dejar fuera de cualquiera de los redundante axiomas, decir $\phi$. Luego, en relación a los otros axiomas de la $\operatorname{ZFC}$, $\phi$ es equivalente a $\psi$ cualquier $\psi$$\operatorname{ZFC} \vdash \psi$.
• ...

Answer 3

Algo que he leído, pero no he estudiado: Tomar las versiones de la Comprensión y de la Separación de los esquemas en los Kunen [1]. Kurt Gödel demostró que en ZF menos Comprensión, la Comprensión del esquema puede ser sustituido por 8 frases que se le presentan (o,equivalenty, por un engorroso frase.) Yo dk si el Infinito que importa aquí, pero lo dudo.

Referencia: [1].Kunen, K. Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas.