En el interior del grupo de automorfismos de un $p$ grupo

Question

Deje $G$ $p$- grupo de clase 2 y $\exp(\operatorname{Inn}(G))=p^c$. Luego resulte $\frac{G} {Z (G)}$ tiene la forma $C_{ p^c}\times C_{ p^c}\times C$ para algunos (posiblemente trivial) abelian $p$grupo $C$.

$C_n$ denota el grupo cíclico de orden $n$. Gracias

Answer 1

OK, aquí es una solución! Desde $G$ clase 2, $G/Z(G)$ es abelian. Permítanme escribir $C(i)$ para un grupo cíclico de orden $p^i$. A continuación, $G/Z(G) \cong C(c) \times C(c_1) \times \cdots C(c_k)$ todos $c_i \le c$. Se nos pide demostrado que existe $c_i$$c_i=c$. Así que supongamos que no. A continuación, todos los $c_i < c$.

Deje $x,y_1,y_2,\ldots,y_k$ ser inversa de imágenes en $G$ de los generadores de la cíclico directa de los factores de $G/Z(G)$. Yo reclamo que $x^{p^{c-1}} \in Z(G)$, lo cual es una contradicción, porque $xZ(G)$ es de suponer, con el fin de $p^c$$G/Z(G)$. Claramente $[x,x^{p^{c-1}}]=1$. Desde cada una de las $y_i^{p^{c-1}} \in Z(G)$, y el colector de un mapa es bilineal en nilpotent grupos de la clase 2, tenemos $[x^{p^{c-1}},y_i] = [x,y_i^{p^{c-1}}] = 1$ y, por tanto, $x^{p^{c-1}}$ centraliza todos los generadores de $G/Z(G)$, por lo que se encuentra en $Z(G)$ como se afirma, dando una contradicción.

Answer 2

Sugerencias...y descargo de responsabilidad:

$$(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;G/Z(G)\cong\operatorname{Inn}(G)$$

$$(2)\;\;\;\;\;\;\;\;G/Z(G)\,\,\,\text{cannot be cyclic non-trivial}$$

Descargo de responsabilidad: El hecho de que al menos dos factores de $\,C_{p^c}\,$ aparecen en la descomposición de la $\,G/Z(G)\,$ sigue ahora de inmediato, pero el hecho de que existen en la mayoría de los que dos de ellos se me escapa ahora mismo, pero yo creo que la clase de dos cosita tiene algo realmente importante que hacer con esto...tal vez más tarde.