Una fórmula en particiones

Question

Supongamos que $\lambda,\mu$ se entero de particiones, con conjugados $\lambda^*,\mu^*$. Me podrían ayudar a demostrar la fórmula siguiente, por favor?

$\sum_{i,j}\mathrm{min}(\lambda_i,\mu_j)=\sum_k\lambda^*_k\mu^*_k$

Answer 1

Esta es realmente la misma respuesta como David Bevan, pero formulado de una forma un poco diferente. Ambos lados de la ecuación recuento de triples $(i,j,k)$ donde$k\leq\lambda_i$$k\leq\mu_j$. Si usted fix $i$ $j$ $\min(\lambda_i,\mu_j)$ diferentes opciones para $k$, mientras que si usted fix $k$ $\lambda^*_k$ opciones para $i$ e independientemente $\mu^*_k$ opciones para $j$.

Answer 2

La identidad se describen dos formas de contar la cúbico 'células' en un plano de partición:

Deje $n_{i,j} = \min(\lambda_i,\mu_j)$ ser un avión de la partición, entonces el $k$th 'plantas' es rectangular con dimensiones de $\lambda^\star_k\times\mu^\star_k$:

Las células en el $k$th plantas son las $(i,j)$ para $\lambda_i\geqslant k$$\mu_j\geqslant k$. Pero $\lambda^\star_k$ es el número de $i$ que $\lambda_i\geqslant k$, e $\mu^\star_k$ es el número de $j$ que $\mu_j\geqslant k$.

Answer 3

Creo inducción sobre el número entero que $\mu$ particiones obras. Resta 1 de la parte más pequeña de $\mu$, y muestran que ambos lados disminuir en la misma cantidad?