Demostrar que las dos medidas son las mismas

Question

Supongamos $\mu$ $\nu$ son medidas positivas en el Borel $\sigma$-álgebra en $[0, 1]$ tal que

$\int fd\mu=\int fd\nu$

siempre que $f$ es un valor real y continua en $[0, 1]$. Demostrar que $\mu=\nu$.

No tengo idea de cómo lidiar con este asunto. ¿Cómo debo hacer?

Answer 1

Como usted probabely saber que tenemos que $$\mu(A) = \int 1_{A} d\mu$$ Para cualquier medida $\mu$, y para todos los $A$. Esto casi se demuestra, exepto por el hecho de que este indicador de función puede no ser continua. Sin embargo, si a es Un intervalo abierto que usted puede ver inmediatamente que el indicador es la monotonía de límite de funciones continuas. El uso de la la monotonía teorema de convergencia ahora tenemos el resultado para cada elemento de la semi anillo de la mitad de abrir los intervalos, ya que la integral es el mismo para la mitad de abrir o abrir intervalos. El valor de la medida en la semi anillo únicamente determina en el sigma álgebra se genera, que es el álgebra de borel por lo que estamos por hacer.

Edit: necesitamos las medidas a por $\sigma$-finito para el teorema de unicidad para aplicar

Answer 2

Mediante el aumento de los límites de la protuberancia de funciones que tienden a la función de indicador de los intervalos de demostrar que las medidas coinciden en intervalos.

Una vez que coinciden en intervalos de ellos coinciden en bloques abiertos por $\sigma$-aditividad.

El Borel $\sigma$-álgebra generada por el abierto de conjuntos.