¿Cuáles son las desventajas de la probabilidad de perfil?

Question

Consideremos un vector de parámetros $(\theta_1, \theta_2)$ con $\theta_1$ el parámetro de interés, y $\theta_2$ un parámetro molesto.

Si $L(\theta_1, \theta_2 ; x)$ es la probabilidad construida a partir de los datos $x$ la probabilidad del perfil para $\theta_1$ se define como $L_P(\theta_1 ; x) = L(\theta_1, \hat{\theta}_2(\theta_1) ; x)$ donde $ \hat{\theta}_2(\theta_1)$ es la MLE de $\theta_2$ para un valor fijo de $\theta_1$ .

$\bullet$ Maximizar la probabilidad del perfil con respecto a $\theta_1$ conduce a la misma estimación $\hat{\theta}_1$ como la que se obtiene al maximizar la probabilidad simultáneamente con respecto a $\theta_1$ y $\theta_2$ .

$\bullet$ Creo que la desviación estándar de $\hat{\theta}_1$ también puede estimarse a partir de la segunda derivada de la probabilidad del perfil.

$\bullet$ La estadística de probabilidad para $H_0: \theta_1 = \theta_0$ puede escribirse en términos de la probabilidad del perfil: $LR = 2 \log( \tfrac{L_P(\hat{\theta}_1 ; x)}{L_P(\theta_0 ; x)})$ .

Así pues, parece que la probabilidad del perfil puede utilizarse exactamente como si fuera una probabilidad genuina. ¿Es realmente así? ¿Cuáles son los principales inconvenientes de este enfoque? ¿Y qué pasa con el "rumor" de que el estimador obtenido a partir de la probabilidad de perfil está sesgado (edición: incluso asintóticamente)?

Answer 1

La estimación de $\theta_1$ de la probabilidad del perfil es sólo el MLE. Maximizando con respecto a $\theta_2$ para cada posible $\theta_1$ y luego maximizar con respecto a $\theta_1$ es lo mismo que maximizar con respecto a $(\theta_1, \theta_2)$ conjuntamente.

El principal punto débil es que, si se basa en la estimación del SE de $\hat{\theta}_1$ en la curvatura de la probabilidad del perfil, no está contabilizando completamente la incertidumbre en $\theta_2$ .

McCullagh y Nelder, Generalized linear models, 2ª edición tiene una breve sección sobre la probabilidad del perfil (sección 7.2.4, páginas 254-255). Dicen:

[Los conjuntos de confianza aproximados pueden obtenerse de la forma habitual ..... Estos intervalos de confianza suelen ser satisfactorios si [la dimensión de $\theta_2$ es pequeña en relación con la información total de Fisher, pero puede ser engañosa de otro modo.... Desgraciadamente, [la probabilidad logarítmica del perfil] no es una función de probabilidad logarítmica en el sentido habitual. Lo más obvio es que su derivada no tiene media cero, una propiedad que es esencial para estimar ecuaciones.

Answer 2

El mayor inconveniente es que la probabilidad del perfil no tiene ningún sentido.

La probabilidad del perfil debe considerarse como una cantidad intermedia que facilita las aplicaciones de las aproximaciones asintóticas (Wilks, etc.) con el fin de construir intervalos y regiones de confianza.

Sin embargo, por sí mismo no tiene ningún significado o interpretación coherente que yo conozca.