Evans PDE p.308 ejercicio 16 (2ª ed)

Question

Aquí está la declaración del problema (Evans de la PDE 2ª Ed., p.308, ejercicio 16)

Mostrar que para $n \geq 3$ existe una constante$C$, de modo que $$ \int_{\mathbb {R}^n} \frac{u^2}{\vert x \vert^2} \,dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} \vert Du \vert ^2 dx $$

Para todos los $ u \in H^1(\mathbb{R}^n)$.

Intento: Bueno, me han demostrado que este resultado para $u \in C_c^\infty (\mathbb{R}^n)$. ¿Cómo puedo extender este resultado a todos los de $H^1(\mathbb{R}^n)$ es mi pregunta?. Yo sé que desde nuestro dominio es$\mathbb{R}^n$,$H_0^1=H^1$. Hay alguna manera de invocar a Friedrich mollifiers para terminar con este problema?. Pero no veo cómo.

Gracias por tu ayuda.

Edición de Solución para el caso de al $u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$

Tome $u\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. Set $F(x)=\dfrac{x}{\vert x \vert ^{2}}$. A continuación,$ \vert F(x) \vert^{2}=\dfrac{1}{\vert x \vert^{2}}$$ \operatorname{div}{(F)}= \dfrac{n-2}{\vert x \vert ^{2}}$. Integración por partes da,

$$ \int_{\mathbb{R}^n} u^{2} \operatorname{div}(F) dx = -\int_{\mathbb{R}^n} D(u^{2}) \cdot F(x) \etiqueta{1} dx $$ (Tenga en cuenta que el límite de los términos de desaparecer debido a que nuestro dominio es $\mathbb{R}^n$.)

Por la regla de la cadena obtenemos que

$$ \int_{\mathbb{R}^n} D(u^{2}) \cdot F(x)= 2 \int_{\mathbb{R}^n} uD(u) \cdot F dx = 2 \int_{\mathbb{R}^n} Du \cdot uF \etiqueta{2} dx $$ Por $(1)$$(2)$,

$$ \left \vert \int_{\mathbb{R}^n} u^{2} \operatorname{div}(F) dx \right \vert = 2 \left \vert \int_{\mathbb{R}^n} Du \cdot uF \right \vert $$ Por Cauchy-Schwarz desigualdad que tenemos,

$$ \left \vert \int_{\mathbb{R}^n} u^{2} \operatorname{div}(F) dx \right \vert \leq 2 ||{Du}||_{L^2} \cdot || u F ||_{L^2} \etiqueta{**} $$

El cuadrado ambos lados y la sustitución de $\operatorname{div} F(x)= \dfrac{n-2}{\vert x \vert ^{2}}$, $ \vert F(x) \vert ^{2}= \dfrac{1}{\vert x \vert ^{2}}$ nos da,

$$ \frac{(n-2)^{2}}{4} \a la izquierda(\int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^{2}}{\vert x \vert^{2}} dx \right)^{2} \leq \left ( \int_{\mathbb{R}^n} |D(u)|^{2} dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^{2}}{\vert x \vert^{2}} dx \right) $$

Y así,

$$ \frac{(n-2)^{2}}{4} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^{2}}{\vert x \vert^{2}} dx \leq \int_{\mathbb{R}^n} |D(u)|^{2} dx $$

Answer 1

Como usted ha señalado,$H_0^1=H^1$, por lo tanto, por definición, para cada una de las $u\in H^1$, $u_n\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ tal que $u_n\to u$$H^1$.

Por otro lado, tenemos que $$\int_{\mathbb{R}^n}\frac{u_n^2}{|x|^2}\leq C\int_{\mathbb{R}^n}|Du_n|^2\tag{1}$$

Para continuar, debemos escoger un subsequence de $u_n$, el cual se tomará nota de re-etiquetar, de tal manera que $u_n\to u$ en casi todas partes (véase el Teorema 4.9. de Brezis). En el lado derecho tenemos convergnce porque $u_n\to u$$H^1$. En el lado izquierdo, se aplica Fatou del Lexema, es decir, $$\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u|^2}{|x|^2}\leq \liminf\int_{\mathbb{R}^n}\frac{u_n^2}{|x|^2}\tag{2}$$

Ahora combinamos $(1)$ $(2)$ a concluir.