4 votos

Es la siguiente aritmética en la conjugación de un conjunto correcto?

Estoy dado un conjunto $H$ subconjunto de un grupo de $G$ cerrado bajo la operación binaria y la satisfacción de que si $g \in G$$g^2 \in H$. Y voy a demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ y $G/H$ es Abelian.

Lo que he hecho es:

Tomar una arbitraria $g \in G$.

Nos dijeron que para todos los $g \in G$, $g^2 \in H$ por lo $(gHg^{-1})^2 \subseteq H$

Sin embargo $(gHg^{-1})^2 = gHg^{-1}gHg^{-1} = gH^2g^{-1} = gHg^{-1}$

No estoy seguro de si mi argumento anterior es correcta porque no estoy seguro de si mi enfoque es matemáticamente correcta.

2voto

stork Puntos 96

No creo que usted puede conseguir $(gHg^{-1})^{2}\subset H$, debido a un elemento arbitrario de $A^{2}$ $ab$ donde $a,b\in A$. También, usted debe demostrar $H$ es un subgrupo de la primera, es decir, demostrar $H$ es cerrado bajo tomando inversas y $H\neq \emptyset$. Y, a continuación, probar que es normal.

2voto

invertedSpear Puntos 6854

Como destacó en Delong la respuesta $(gHg^{-1})^2\subseteq H$ no sigue directamente del hecho de que $g^2\in H$ todos los $g\in G$, debido a que la mayoría de los elemento general de la $(gHg^{-1})^2$ no es un cuadrado, pero es elemento de la forma $gh_1h_2g^{-1}$ donde $h_1,h_2$ son dos elementos de la $H$.

Demostrando que $H$ es un grupo que ya ha sido tratado.

Sugerencia : $gHg^{-1}=H$ es equivalente a $gH=Hg$. Trate de escribir cualquier elemento $gh$ donde $h\in H$ como algunas de las plazas y de los elementos de $H$ $g$ al final.

$gh=ghghh^{-1}g^{-1}=\underbrace{(gh)^2h^{-1}(g^{-1})^2}_{\in H}g$

Para la parte restante (abelianity de $G/H$) Jalex Stark comentario es el buen camino. La hipótesis dice que el $G/H$ es de exponente $2$ o $1$ y cualquier grupo de este tipo necesita ser abelian.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X