Función logarítmica

Question

Calcular el valor de $f\bigl(\frac{1}{400}\bigr)$ si la función está definida de la siguiente manera :

$f(xy) = f(x) + f(y)$ $f(4)= 16$

Answer 1

Para responder a esta pregunta, tenemos que asumir $f$ es continua. Si $f$ no es continua, no hay manera, con la información dada, para obtener una respuesta.

La relación $$ f(xy)=f(x)+f(y)\etiqueta{1} $$ implica por inducción $$ nf(x)=f(x^n)\quad\text{para }n\in\mathbb{Z}\etiqueta{2} $$ Podemos inferir de $(2)$ que $$ f(a^q)=qf(a)\etiqueta{3} $$ para cualquier $a\gt0$$q\in\mathbb{Q}$, y si $f$ es continuo, $(3)$ tiene para todos los $q\in\mathbb{R}$.

Por la definición de $\log$, $(3)$ dice $$ \frac{f(x)}{f(a)}=\log_a(x)\etiqueta{4} $$

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$$ \begin{align} \frac{f\left(\frac1{400}\right)}{f(4)} &=\log_4\left(\frac1{400}\right)\\ &=-\log_4(400)\\ &=-\left(2+\log_4(25)\right)\\ &=-\left(2+\log_2(5)\right)\\ f\left(\frac1{400}\right) &=-16\left(2+\log_2(5)\right)\\ &\doteq-69.1508495181978 \end{align} $$

Answer 2

¿Qué sucede cuando $z=1$? ¿Que te enseñan algo sobre el comportamiento de los $f$?

Supongamos $f$ es de hecho un logaritmo. Luego de algunos $b$, $$f(x)=\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}.$$ Un poco de manipulación algebraica continuación, ir bastante largo camino ($b$ va a desaparecer).

Answer 3

El valor 2^(1/8) que ha obtenido de la base que es correcta. Pero para f(1/400), me temo que usted no se vea correctamente en el gráfico o la gráfica está mal; el valor aproximado es -69.15 (su valor exacto sobre la base de los logaritmos naturales es - 8 Log[400] / Log[2]). Por favor, eche un vistazo a las fórmulas relacionadas con el cambio de base para los logaritmos
(http://www.proofwiki.org/wiki/Change_of_Base_of_Logarithm).