Universal que envuelve algebra de Poisson álgebra

Question

Para una Mentira álgebra, $\mathfrak{g}$, se tiene una equivalencia de categorías entre Mod($\mathfrak{g}$) y Mod($U(\mathfrak{g})$), donde $U(\mathfrak{g})$ universal es la envolvente de álgebra de $\mathfrak{g}$.

Deje $P=(A,\{,\})$ ser un algebra de Poisson $A=k[x_1,...,x_n]$.

Una $A$-módulo de $P$ es de Poisson módulo si hay un producto bilineal $\{,\}_M:A \times M \rightarrow M$ de manera tal que el siguiente se mantenga para todas las $a,b \in A$ y todos los $m \in M$:

1. $\{\{a,b\},m\}_M = \{a,\{b,m\}_M\}_M - \{b,\{a,m\}_M\}_M$;
2. $\{a,bm\}_M = \{a,b\}_M + b\{a,m\}_M$;
3. $\{ab,m\}_M = a\{b,m\}_M + b\{a,m\}_M$.

Uno puede construir la envolvente de álgebra de $P$ en mucho la misma manera como se construye $U(\mathfrak{g})$. En particular,

$U(P) = k\langle x_1,...,x_n \mid x_ix_j-x_jx_i - \{x_i,x_j\} \text{ for all } 1 \leq i,j \leq n\rangle$, $k$ a un campo.

Hace la misma equivalencia que existe entre el $U(P)$-y módulos de Poisson $P$-módulos?

Aquí es el ejemplo que tengo en mente. Deje $A=k[x,y,z]$ y definir un corchete de Poisson en $A$ por $\{x,y\}=z^2$, $\{y,z\}=x^2$, $\{z,x\}=y^2$. A continuación, el universal envolvente de álgebra para $P$ debe ser

$k\langle x,y,z \mid xy-yx=z^2, yz-zy=x^2, zx-xz=y^2 \rangle$.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es negativa. Para cualquier Poisson álgebra $P$, no existe un álgebra asociativa, que se denota por a $P^e$, de tal manera que el módulo de la categoría de más de $P^e$ es equivalente a la categoría de Poisson de los módulos a través de $P$. Ver http://arxiv.org/pdf/1102.0366v1.pdf para los detalles. Sin embargo, $P^e$ no se construye de la manera que usted menciona. De hecho, uno debe pensar en la $P^e$ como el análogo de la $A\otimes A^{op}$ de un álgebra asociativa $A$. Así que, en cierto sentido, el tamaño de $P^e$ es "duplicado" de $P$. En cuanto a tu ejemplo, $P^e$ es un no-conmutativa álgebra de seis generadores de GK-dimensión 6.

Answer 2

(Editado:) no tengo una respuesta a la pregunta como se dijo (a pesar de que aún esperan a ser que no), pero yo sólo quiero señalar que esta construcción no es muy similar a la construcción de la envolvente universal de álgebra. El universal envolvente álgebra $U(\mathfrak{g})$ puede ser canónicamente definido sin hacer ningún tipo de opciones (por ejemplo, una opción de base de $\mathfrak{g}$), mientras que en esta definición está señalando a una elección particular de los generadores.

El análogo de la construcción sería tomar el de la izquierda adjunto de la olvidadizo functor de álgebras de Poisson álgebras, pero 1) esto no está de acuerdo con su construcción, 2) se da una equivalencia para una noción de Poisson módulo, y 3) no parece ser una idea interesante de Poisson módulo.