En la figura, CD=2AB=2BC y FE = ED
Encontrar AG:
Este es un Olímpicos pregunta en China, he intentado, todavía no puede averiguar. Por favor.
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user26651
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Sugerencia: tenga en cuenta que la CE es la mitad de la FA y paralelo a la misma. Para ÉL:HA y FH:FC proporciones debe ser clara. A continuación, aplicar Menelao teorema de triángulo AHC cortadas por la línea de FGB con el fin de inferir la relación de AG:GH.
David Holden
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Lyra
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Desde $2|AB| = 2|BC| = |CD|$ se sigue que $C$ es el punto medio de la $AD$. Por definición, también sabemos que $E$ es el punto medio de la $FD$. De ello se desprende que $FC$ $AE$ son medianas del triángulo $\triangle FAD$ y, por tanto, $H$ es el centro de gravedad del triángulo. El baricentro divide a cualquier mediana en una relación de $1:2$, por lo tanto $|AH| = 2|HE|$.
Ahora observe que los puntos de $A,G,H,E$ $A,B,C,D$ están relacionados por una perspectiva centrada en $F$. De ello se desprende que la cruz de relación es invariante entre el punto dos conjuntos.
Por lo tanto tenemos: $$3=\frac{|AC||DB|}{|DC||AB|} = (A,D; C,B) = (A,E; H,G) = \frac{|AH||EG|}{|EH||AG|}=2\frac{|EG|}{|AG|}$$ $$\frac{1}{2}=\frac{|AB||CD|}{|CB||AD|}=(A,C;B,D)=(A,H; G,E)=\frac{|AG||HE|}{|HG||AE|} = \frac{1}{3}\frac{|AG|}{|HG|}$$ Por lo tanto, tenemos $$\frac{|EG|}{|AG|} = \frac{|AG|}{|HG|}= \frac{3}{2}$$ Por último, tenemos $$\frac{3}{2}=\frac{|EG|}{|AG|} = \frac{|GH|}{|AG|}+\frac{|HE|}{|AG|} = \frac{2}{3} + \frac{|HE|}{|AG|}$$ Por lo tanto $$\frac{|AG|}{|HE|} = \frac{6}{5}$$
Roger Hoover
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Es posible abordar el problema a través de Ceva y Van Obel de teoremas.
Llame a $G',H'$ de los puntos en los que el $DG,DH$$AF$. Debido a Ceva del teorema tenemos: $$\frac{AG'}{G'F}=\frac{1}{3},\qquad \frac{AH'}{H'F}=1,$$ ahí Van Obel del teorema da: $$\frac{AG}{GE}=\frac{2}{3},\qquad \frac{AH}{HE}=2,$$ y tenemos: $$ AG:GH:HE = 6:4:5,$$ por lo tanto $\frac{AG}{HE}=\frac{6}{5}$.
