Cómo resolver una ecuación polinómica de enésima potencia

Question

El enfoque típico de la resolución de una ecuación cuadrática es resolver para las raíces

$$x= \frac {-b \pm\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$$

Aquí, el grado de x se da a ser 2

Sin embargo, me preguntaba cómo se resuelve una ecuación si el grado de x se da a ser n.

Por ejemplo, considere esta ecuación:

$$a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n = 0$$

Answer 1

No hay una respuesta perfecta a esta pregunta. Para los polinomios hasta el grado 4, existen fórmulas de solución explícitas similares a la de la ecuación cuadrática (las fórmulas de Cardano para las ecuaciones de tercer grado, véase aquí y la fórmula de Ferrari para el grado 4, véase aquí ).

Para grados superiores, no existe ninguna fórmula general (o más exactamente, ninguna fórmula en términos de suma, resta, multiplicación, división, constantes arbitrarias y $n$ -raíces). Este resultado se demuestra en la teoría de Galois y se conoce como el Teorema de Abel-Ruffini . Editar: Tenga en cuenta que para algunos casos especiales (por ejemplo, $x^n - a$ ), existen fórmulas de solución, pero no se generalizan a todos los polinomios. De hecho, se sabe que sólo una parte muy pequeña de los polinomios de grado $\ge 5$ admitir una fórmula de solución utilizando las operaciones indicadas anteriormente.

Sin embargo, encontrar soluciones a las fórmulas polinómicas es bastante fácil utilizando métodos numéricos, por ejemplo, Método de Newton . Estos métodos son independientes del grado del polinomio.

Answer 2

Me gustaría mostrarte este diagrama de flujo que resume todos los métodos para resolver manualmente hasta polinomios cuárticos:

Answer 3

El teorema de imposibilidad de Abel afirma que no hay algebraico solución de ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior

Pero Jordan ha demostrado que cualquier ecuación algebraica puede resolverse utilizando funciones modulares. Existen fórmulas explícitas sin necesidad de utilizar Tschirnhausen u otras transformaciones. Sin embargo, la aplicación de este teorema en la práctica es muy difícil debido a la complejidad de las integrales hiperelípticas pertinentes y de las funciones theta de género superior. (Las fórmulas generales se encuentran en aquí )

Existen fórmulas generales para las ecuaciones generales $$x^n-x+t=0$$ y y y $$ax^{2\mu}+bx^\mu-x^\nu+c=0$$ (ver aquí y y y aquí )

Answer 4

Si he entendido bien la pregunta: no hay ninguna expresión general para encontrar raíces de polinomios de grado 5 o más. _Ver aquí_

Para las titulaciones 3 y y y 4 las entradas de Wikipedia son bastante buenas.

Answer 5

El papel Método analítico para encontrar las raíces de los polinomios se publicó en 2015. Describe la resolución de ecuaciones polinómicas mediante series de potencias infinitas analíticas.