¿Cuál es el nombre/detalles relevantes de este exponencial de la familia relacionadas con la estructura?

Question

Supongamos que $X$ proviene de un aumento exponencial de la familia $$ p_\theta(x) = h(x)\exp(\theta x - A(\theta)), $$ y que, con la condición de $X$, $Y$ también viene de una exponencial de la familia de la forma $$ p_\eta(y\mid x) = h(y\mid x)\exp(\eta y - Un(\eta, x)). $$

Sólo un puntero a una referencia sería de gran ayuda. No estoy seguro de si esto tiene un nombre, o incluso si se trata de una interesante estructura, pero ha aparecido en algún trabajo y me siento como que debo saber de los detalles. Esencialmente, la canónica parámetro de $Y|X$ es libre de $X$.

Answer 1

Lamentablemente creo que esta estructura es un poco vago y que admite un montón de bastante carrera de la fábrica de distribuciones. Por ejemplo, supongamos $X_1, X_2\sim Poisson(\theta)$ y deje $Y=X_1+X_2$. Luego Condicional en $X_1$, $Y$ tiene una distribución de Poisson con una media de desplazado por $X$, que todavía es una exponencial de la familia. $Y$ como la suma de binomios o gammas también funciona.

Fundamentalmente, sin embargo, el valor de la canónica parámetro de $Y$ puede ser diferente después acondicionado en $X$ (como en el caso de Poisson arriba), pero su valor no depende de la $X$. De hecho, es incluso posible que el condicional $Y$ podría ser exponencial de la familia, pero incondicionalmente no exponencial de la familia.

Si la canónica parámetro hizo dependen $X$, entonces lo que tendríamos sería un $Y$ que fue incondicionalmente una mezcla de distribución con un previo parámetro que era una función de $X$.

HTH