Convergencia de una secuencia de sumas de variables aleatorias gaussianas

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias i.i.d. de media gaussiana $\mu$ y varianza $\sigma^2$ . Intento estudiar la convergencia de la siguiente secuencia de variables aleatorias:

\begin{equation} S_n = \frac{1}{n}\sum^n_{i=2} \bigg\{X_i \frac{\sum^{i-1}_{j=1}X_j}{i} \bigg\} \end{equation}

Sospecho que esto podría converger a $\mu^2$ pero no estoy seguro de cómo aplicar aquí la ley de los grandes números, ya que las cantidades de la suma no son independientes. Agradecería mucho que alguien me diera una pista. Gracias.

Answer 1

Esto puede tratarse utilizando la ley fuerte de los grandes números. Sea $$\Omega':=\left\{\omega\in\Omega,\frac 1i\sum_{l=1}^iX_l\to \mu \right\}.$$ Entonces $\Omega'$ tiene probabilidad uno. Sea $\omega\in\Omega'$ y arreglar $\varepsilon\gt 0$ . Sea $i_0$ sea tal que para todo $i\geqslant i_0$ , $\left\lvert \frac 1i\sum_{l=1}^{i-1} X_l(\omega)-\mu\right\rvert\lt\varepsilon $ . Entonces $$S_n(\omega) =\frac 1n \sum_{i=1}^{i_0-1} X_i(\omega)\frac{\sum_{l=1}^{i-1} X_l(\omega)}l +\frac 1n\sum_{i=i_0}^{n} X_i(\omega)\left( \frac{\sum_{l=1}^{i-1} X_l(\omega)}l -\mu\right)+\frac\mu n\sum_{i=i_0}^{n} X_i(\omega).$$ El primer término llega a cero, el segundo no supera $\varepsilon n^{-1}\sum_{i=1}^n\left\lvert X_i\left(\omega\right)\right\rvert$ que va a $\varepsilon \mathbb E\left\lvert X_1\right\rvert $ por la ley fuerte de los grandes números. Por la ley de los grandes números, el tercer término es $\mu^2$ .