Porque $f(1_R) = f(1_R^2) = f(1_R)^2$ saber que $1_R$ debe asignarse a un elemento idempotente de $S$ . Podemos usar esto para construir algunos contraejemplos:
Tomemos por ejemplo un anillo conmutativo $R$ y un no necesariamente conmutativo o unital (pero asociativo) $R$ -Álgebra $A$ . Para cualquier idempotente $e \in A$ el mapa $R \to A, r \mapsto re$ hace el truco. Este mapa sólo es unital si $A$ es unital y $e = 1_A$ .
Un ejemplo de ello es un anillo (es decir $\mathbb{Z}$ -álgebra) $S$ con un idempotente $e \in S$ . (Si $ne = 0$ para algunos $n \geq 2$ entonces también resulta un pseudo homomorfismo de anillo $\mathbb{Z}/n \to S$ . La respuesta de Matt Samuel es un ejemplo de ello con $S = \mathbb{Z}/6$ , $e = 3$ y $n = 2$ .)
Si $k$ es un campo, entonces el álgebra matricial $\mathrm{M}_n(k)$ nos da muchos idempotentes (a menos que $k$ es finito y $n$ es pequeño, o $n = 1$ ), ya que existe una biyección entre los idempotentes de $\mathrm{M}_n(k)$ y las descomposiciones de la suma directa $k^n = U \oplus V$ (donde consideramos $U \oplus V$ y $V \oplus U$ como dos descomposiciones diferentes).
Otra clase de ejemplos surge al tomar un producto de anillos unitales $\prod_{i \in I} R_i$ y considerando el idempotente $e_j = (\delta_{ij})_{i \in I} \in \prod_{i \in I} R_i$ podemos usar esto para construir el pseudo homomorfismo de anillo $R_j \to \prod_{i \in I} R_i$ , $r \mapsto r e_j$ que sólo es unital si $|I| = 1$ .
