Para evaluar…

Question

Tenemos que evaluar los siguientes límites:

$$\lim _{n\to \infty }\:\int _{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\:\frac{\sin\left(x\right)}{x^3}\:dx,\:n\in \mathbb{N}$$

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Primer paso escribí que $\int _{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\:\frac{\sin\left(x\right)}{x^3}\:dx\:=\:\frac{1}{n\left(n+1\right)}\cdot f\left(c\right)$ donde $c\in \left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)$.

No tengo ideea ¿cómo puedo evaluar:

$\lim _{n\to \infty }\frac{\:f\left(c\right)}{n\left(n+1\right)}$

P. S: Después, quiero ver a otro método de solución.Gracias de antemano!

Answer 1

De forma heurística, $\sin x \approx. x$ pequeña $x$. Por lo tanto,

$$\int_{1/(n+1)}^{1/n} \frac{\sin x }{x^3}dx\approx. \int_{1/(n+1)}^{1/n} \left(\frac{1}{x^2} \right)dx\ =1$$

Podemos hacer que este argumento riguroso por escrito

$$\frac{\sin x}{x^3}=x^{-2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k-2}}{(2k+1)!}$$

con lo cual

$$\int_{1/(n+1)}^{1/n} \frac{\sin x }{x^3}dx=1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{n+1})^{2k-1}-(\frac{1}{n})^{2k-1}}{(2k+1)!(2k-1)}$$

El límite de la serie se desvanece como $n \to \infty$ y recuperar el resultado que hemos obtenido de forma heurística!

Answer 2

Vamos a generalizar. Por qué? Debido a que este tipo de límite no dependen realmente de potencia de la serie o algo de fantasía. Supongamos que tenemos un continuo $f$ $(0,1)$ $\lim_{x\to 0^+}f(x) = 1.$

$$\int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{f(x)}{x^2}\,dx \to 1$$

como $n \to \infty.$ (En nuestro problema tenemos $f(x) = (\sin x)/x.$) Prueba: Vamos a $\epsilon>0.$ Elija $\delta > 0$ tal que $1-\epsilon< f(x) < 1 +\epsilon$ $x\in (0,\delta).$ $n>1/\delta$ implica

$$(1-\epsilon)\int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{1}{x^2}\,dx < \int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{f(x)}{x^2}\,dx <(1+\epsilon)\int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{1}{x^2}\,dx.$$As we know, the integrals on the left and right equal $1$ for all $n,$ y esto da el resultado.

Answer 3

SUGERENCIA: tal vez a usar esta simple desigualdad y, a continuación, apriete? $$x-\frac{x^3}{6}\le \sin(x) \le x \ , x\ge0$$

El límite es de $1$.

Answer 4

Sugerencia: tenga en cuenta que cerca de $x=0$, $\sin(x)$ es monótonamente creciente, por lo tanto $$ \underbrace{\frac1{n(n+1)}}_{\text{ancho del intervalo}}\cdot\underbrace{\frac{\sin(1/(n+1))}{1/n^3}}_{\text{integrando min}} \le\int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{\sin(x)}{x^3}\,\mathrm{d}x \le\underbrace{\frac1{n(n+1)}}_{\text{ancho del intervalo}}\cdot\underbrace{\frac{\sin(1/n)}{1/(n+1)^3}}_{\texto{integrando max}} $$ Reorganizar un poco para conseguir $$ \frac{n^3}{n(n+1)^2}\frac{\sin(1/(n+1))}{1/(n+1)} \le\int_{1/(n+1)}^{1/n}\frac{\sin(x)}{x^3}\,\mathrm{d}x \le\frac{(n+1)^3}{n^2(n+1)}\frac{\sin(1/n)}{1/n} $$ Ahora tome límites y aplicar $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$ y el Teorema del sándwich.

Answer 5

Sugerencia: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$