Si $f_n$ es una secuencia de funciones diferenciables convergentes a $f$ uniformemente en un conjunto compacto

Question

Supongamos $f_n\rightarrow f$ sobre un conjunto compacto en $\mathbb{R}^n$, con $f_n\in C^1$. $f$ no es necesario diferenciable. Podemos encontrar fácilmente una secuencia de funciones de la convergencia a la $|f|$, por ejemplo.

Mi pregunta es: ¿existen resultados que se dice, por ejemplo, la derivada existe en absoluto, pero un número finito de lugares.

¿Qué acerca de si $f_n\in C^2$?

Answer 1

No. Recordemos que los Polinomios son densos en $C(K)$ por cada compacto $K \subseteq \mathbb R^n$. Ahora vamos a $f\colon K \to \mathbb R$ continua, diferenciable de la función. Hay una secuencia de polinomios (de ahí las funciones lisas) $f_n$ tal que $f_n \to f$ uniformemente.

Answer 2

No. En particular, las sumas parciales de la suma de definir http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function son suaves y convergen uniformemente por la M prueba, pero el límite es diferenciable.

Answer 3

Definir $f(x) = 0 $$x \le 0$. Definir $f({1 \over n}) = + {1 \over n}$ si $n$ es incluso y $f({1 \over n}) = - {1 \over n}$ si $n$ es impar, y por línea recta de interpolación en el medio. Es fácil ver que $f$ es continua (sólo $0$ está en cuestión, y $|f(x)| \le |x|$ en todas partes). Sin embargo, $f$ no es diferenciable en cualquier ${1 \over n}$.

Ahora elija $[-1,1]$ (con un intervalo compacto) y una secuencia de polinomios $p_n$ tal que $\max_{|t| \le 1}|f(t)-p_n(t)| \to 0$. Cada una de las $p_n$ es suave, pero $f$ no es diferenciable en un contable número de puntos.