Delimitada Derivados y Uniforme de Funciones Continuas

Question

Demostrar o Refutar: Vamos a $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una acotada uniformemente continua en función de las cuales la primera y segunda derivada existe y es continua, en otras palabras $f \in C^2_{unif} (\mathbb{R},\mathbb{R})$. A continuación, $f'(x)$ está acotada.

Este es un problema que me encontré mientras trabajaba en un proyecto. Al principio nos pareció que no era cierto, pero hemos sido incapaces de encontrar un contraejemplo. Algún consejo sobre cómo probar (si es cierto) sería muy apreciada. Pido disculpas si esto ha sido publicado antes.

Answer 1

No es cierto, como un contra ejemplo tomar una curva sinusoidal con la disminución de la amplitud, pero la frecuencia aumenta a $\infty$ (esto significa sin límites derivados). Algo así como:

$$\frac{1}{1+x^2}\sin(x^5)$$