Cómo calcular el $\sum\frac{1}{(4k-1)(4k+4)}$?

Question

Estoy tratando de calcular $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(4k-1)(4k+4)}$ usando sumas telescópicas. Ya he probado esta igualdad: $\sum\frac{1}{(4k-1)(4k+4)}=\frac{1}{5}\big(\sum\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+4}\big)$. El problema es que no puedo cancelar los términos de esta suma.

Necesito ayuda

Gracias

Answer 1

Sugerencia: $S=\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n=\displaystyle \lim_{n\to \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{4k-1} - \dfrac{1}{4k+4}\right) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \displaystyle \int_{0}^1 \left(\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(x^{4k-2} - x^{4k+3}\right)\right)dx= \displaystyle \int_{0}^1 \displaystyle \lim_{n\to \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^n \left(x^{4k-2} - x^{4k+3}\right)dx$. Se puede calcular el integrando, y que la integran.