La diferencia de dos conexiones es un tensor

Question

Actualmente estoy leyendo el libro de Jost Geometría riemanniana y análisis geométrico y busco una aclaración sobre la afirmación del título.

Jost define de forma abstracta una conexión sobre un haz vectorial $D:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(E\otimes T^*M)$ como

$D=d+A$ donde $d$ es la derivada exterior y $A=(A^k_j)$ y $A^k_j=\Gamma^k_{ij}dx^i$ .

Deriva la ley de transformación para la matriz $A$ como

$A_{\alpha}=\varphi_{\beta\alpha}^{-1}d\varphi_{\beta\alpha}+\varphi_{\beta\alpha}^{-1}A_{\beta}\varphi_{\beta\alpha}$

Donde $\varphi_{\beta\alpha}$ son los mapas de transición asociados a las trivializaciones del haz vectorial.

Jost continúa diciendo

'Así, $A$ no se transforma como un tensor (debido a la $\varphi_{\beta\alpha}^{-1}d\varphi_{\beta\alpha}$ término) pero la diferencia de dos conexiones se transforma como un tensor".

Quiero entender mejor esta afirmación.

Entiendo cómo se transforman los tensores covariantes y contravariantes bajo un cambio de coordenadas. Sin embargo, me cuesta ver por qué la presencia de la $\varphi_{\beta\alpha}^{-1}d\varphi_{\beta\alpha}$ término significa $A$ no se transforma como un tensor.

Por último, en este contexto de conexiones sobre haces vectoriales, ¿por qué la diferencia de dos conexiones se transforma en un tensor?

Answer 1

Permítanme explicar aquí una caracterización realmente útil de un "tensor" que no es tan anticuada como la de cómo se transforma un "tensor" bajo el cambio de coordenadas. En el proceso espero poder aclarar por qué la diferencia entre dos conexiones es un "tensor".

Asumiré la suavidad en todas partes.

Una conexión, tal y como la define el cartel original, $D:\Gamma(E)\to\Gamma(E\otimes T^*M)$ toma secciones suaves del haz vectorial $E$ al diferencial $1$ -formas que toman valores en secciones de $E$ . Se puede ver esto reconociendo que $\Gamma(E\otimes T^*M)\cong\Gamma(E)\otimes_{C^\infty(M;\mathbb{R})}\Gamma(T^*M)\cong\mathrm{Hom}_{C^\infty(M;\mathbb{R})}(\mathfrak{X}(M;\mathbb{R});\Gamma(E))$ donde estoy identificando el $C^\infty(M;\mathbb{R})$ -módulo de secciones del haz tangente $\Gamma(TM)$ con campos vectoriales de $M$ como derivaciones en el álgebra $C^\infty(M;\mathbb{R})$ ---Recomiendo la Introducción a las variedades lisas de Lee, o la Relatividad General de Wald si uno no está acostumbrado a estas nociones.

Dicho esto, dejemos que $s\in\Gamma(E)$ una sección de $E$ , $X\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ un campo vectorial en $M$ y $f\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ una función suave. Aplicando la definición de una conexión (tal y como la da el cartel original), se puede ver fácilmente que

$$Ds(fX)=fDs(X)$$

y

$$Dfs(X)=X(f)s+fDs(X) \ .$$

Observación: esta última propiedad suele ser una propiedad definitoria de una conexión sobre un haz de vectores cuando se define globalmente, a diferencia de la definición local del Cartel Original.

Ahora bien, si $D$ y $D'$ son dos conexiones definidas en $E$ su diferencia satisface

$$(D-D')s(fX)=f(D-D')s(X)$$

y

$$(D-D')fs(X)=f(D-D')s(X) \ .$$ Esta última igualdad -que no se cumple para ninguna de las conexiones solas- que caracterizan su diferencia como un "tensor"; su diferencia es en realidad una diferencial $1$ -forma que toma valores en las secciones de $E$ .

La razón por la que la diferencia de dos conexiones satisface $(D-D')s(fX)=f(D-D')s(X)$ es porque cada uno contribuye con un término extra $X(f)s$ , $Dfs(X)=X(f)s+fDs(X)$ es una especie de regla de Leibniz.

Un "tensor" no es más que un mapeo que cuando sus argumentos se multiplican por funciones, se comporta como un mapeo lineal respecto a esto $C^\infty(M;\mathbb{R})$ -estructura de módulo. Esto no es tan preciso como me gustaría, pero permítanme mostrar un ejemplo con el "tensor" métrico (una estructura riemanninana $\mathrm{g}$ ): con campos vectoriales $X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ y una función suave $f\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ la métrica riemanniana satisface $\mathrm{g}(X+fY,Z)=\mathrm{g}(X,Z)+f\mathrm{g}(Y,Z)$ .

Este tipo de comportamiento, respecto a la multiplicación por funciones, garantiza que estos "tensores" sólo dependen de lo que ocurre en un punto. Y la forma en que se transforman bajo difeomorfismos (cambio de coordenadas) puede deducirse de esa propiedad.

Tarea para el cartel original: ya que sabes cómo se transforman los tensores covariantes y contravariantes bajo el cambio de coordenadas, y afirmé que la diferencia entre dos conexiones es bastante $1$ -forma de tomar valores en secciones de $E$ : utilizar una base local para las secciones de $E$ y otro para los campos vectoriales de $M$ y mostrar cómo los valores de $Ds(X)$ y $(D-D')s(X)$ cambiar bajo un cambio de coordenadas. Sugerencia: explora cómo se comportan las conexiones al multiplicar sus argumentos por funciones.